Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=x-sin x  в промежутке [0; 2П] Производную нашёл вот: 1-cos x К нулю привел 1-cos x=0; -cos x = -1; cos x =1 а вот дальше незнаю

Answer 1

А дальше находим корни этого уравнения, принадлежащие указанному отрезку:

Косинус равен единице только в точках х = 0 и х = 2П (из указанного промежутка).

 

На указанном отрезке [0; 2П] синус принимает наименьшее значение в точке "3 пи пополам", равное (- 1), а наибольшее - в точке "пи пополам", равное (+ 1).

Косинус на этом отрезке монотонно убывает от ) до П, (наименьшее значение, принимаемое косинусом на данном промежутке, равно - 1) и монотонно возрастает от П до 2П, где вновь принимает максимальное значение, равное +1.

 

Вычисляйте значения в концах отрезка:

х = 0 у = 0 - 0 = 0 - наименьшее значение.

 

х = 2П у = 2П - 0 = 2П - наибольшее значение

Answer 2

Наибольшее и наименьшее значение функция принимает в критических точках.

$x=2\pi n$

нужному промежутку принатдлежат значения х=0 и х=2π

т.е наибольшее и наименьшее значения будут находиться на концах промежутка, так как точек внутри отрезка нет

х=0  y(0)=0-sin0=0 наименьшее знчение

x=2π   y(2π)=2π-sin2π=2π-0=2π   наибольшее значние

 

Answer 3

Вы правильно нашли производную функции y = x - sin(x), которая равна 1 - cos(x). Теперь вам нужно найти значения x, при которых производная равна нулю, чтобы найти экстремумы функции.

Вы уже установили, что 1 - cos(x) = 0. Для решения этого уравнения вам нужно найти значения x, при которых cos(x) равен 1. Заметим, что cos(x) равен 1 только при x = 0 и x = 2π (или x = 0° и x = 360° в градусах).

Теперь мы знаем, что экстремумы функции находятся в точках x = 0 и x = 2π. Чтобы определить, является ли это максимумом или минимумом, нужно проанализировать знак производной в окрестности этих точек.

Для x < 0 и x > 2π значение производной 1 - cos(x) положительно, так как cos(x) находится в интервале (-1, 1), а значит, функция y = x - sin(x) монотонно возрастает в этих интервалах.

Для окрестности точки x = 0 рассмотрим значения производной слева и справа от неё:

• При x → 0- (x стремится к нулю слева) значение cos(x) будет близко к 1, поэтому производная 1 - cos(x) будет положительной, то есть функция возрастает.
• При x → 0+ (x стремится к нулю справа) значение cos(x) будет близко к 1, поэтому производная 1 - cos(x) будет положительной, функция также возрастает.

Для окрестности точки x = 2π рассмотрим значения производной слева и справа от неё:

• При x → 2π- (x стремится к 2π слева) значение cos(x) будет близко к 1, поэтому производная 1 - cos(x) будет положительной, функция возрастает.
• При x → 2π+ (x стремится к 2π справа) значение cos(x) будет близко к 1, поэтому производная 1 - cos(x) будет положительной, функция также возрастает.

Исходя из этой информации, можно сделать вывод, что наибольшее и наименьшее значение функции y = x - sin(x) в промежутке [0, 2π] соответственно достигаются в точках x = 0 и x = 2π.

Таким образом, минимальное значение функции y = x - sin(x) в данном промежутке равно 0 (достиг