Question

8cosxsinxcos2x=√3 .Помогите решить тригонометрическое уравнение по алгебре за 10 класс . Не могу понять , от чего нужно оттолкнуться

Answer 1

Тут идет знание формул двойного угла для синуса 2sinxcosx=sin2x
4sin2xcos2x=√3
2sin4x=√3
sin4x=(√3)/2
4x=(-1)^k×arcsin(√3/2)+пk
x=(-1)^k×(п/3)/4+пk/4

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы будем использовать тригонометрические тождества и свойства. В данном случае, нам пригодится тригонометрическое тождество:

cos2x = 1 - 2sin^2(x)

Заменим cos2x в исходном уравнении:

8cosxsinxcos2x = √3 8cosxsinx(1 - 2sin^2(x)) = √3

Упростим выражение:

8cosxsinx - 16cosxsin^3(x) = √3

Теперь мы можем привести это уравнение к более простому виду. Заметим, что 8 = 2 * 2 * 2, а √3 можно представить как 2√3 * √3. Используя эти значения, преобразуем уравнение:

2 * 2 * 2 * cosxsinx - 2 * 2 * 2 * 2 * cosxsin^3(x) = 2√3 * √3 2^3 * cosxsinx - 2^4 * cosxsin^3(x) = 2^2 * √3 * √3

Далее, мы можем сократить на 2^2 = 4:

2 * cosxsinx - 2^2 * cosxsin^3(x) = √3 * √3 2cosxsinx - 4cosxsin^3(x) = 3

Теперь у нас есть более простое уравнение:

2cosxsinx - 4cosxsin^3(x) = 3

Теперь мы можем попытаться решить это уравнение. Но перед этим, проверим базовые значения sin(x) и cos(x), чтобы избежать деления на ноль.

Если sin(x) = 0, то возвращаемся к исходному уравнению:

8cosxsinxcos2x = √3 8cosx * 0 * cos2x = √3 0 = √3

Так как нуль не равен корню из трех, то sin(x) не может быть равным нулю.

Аналогично, если cos(x) = 0, то также возвращаемся к исходному уравнению и получаем тот же противоречивый результат.

Таким образом, ни sin(x), ни cos(x) не могут быть равными нулю. Мы можем продолжить решение, предполагая, что они оба не равны нулю.

Теперь разделим обе части уравнения на 2:

cosxsinx - 2cosxsin^3(x) = 3/2

Теперь мы получили кубическое уравнение относительно sin(x):

-2sin^3(x) + sin(x) - 3/2 = 0

Мы мож