Question

Доказать тождество 1+cosa/sina*(1+(1-cosa)^2/sin^2a)=2/sina

Answer 1

Решение смотри  во вложении

Answer 2

Давайте докажем это тождество шаг за шагом.

Выражение, которое нам нужно доказать, выглядит следующим образом:

1 + cos(a)/sin(a) * (1 + (1 - cos(a))^2/sin^2(a)) = 2/sin(a)

Сначала раскроем квадрат в числителе во втором слагаемом:

(1 - cos(a))^2 = 1 - 2*cos(a) + cos^2(a)

Подставим это обратно в исходное выражение:

1 + cos(a)/sin(a) * (1 + (1 - cos(a))^2/sin^2(a)) = 1 + cos(a)/sin(a) * (1 + (1 - cos(a))^2/sin^2(a))

= 1 + cos(a)/sin(a) * (1 + (1 - cos(a))^2/sin^2(a))

= 1 + cos(a)/sin(a) + cos(a)/sin(a) * (1 - 2*cos(a) + cos^2(a))/sin^2(a)

= 1 + cos(a)/sin(a) + cos(a)/sin(a) * (1 - 2*cos(a) + cos^2(a))/sin^2(a)

Теперь упростим эту часть:

= 1 + cos(a)/sin(a) + cos(a)/sin(a) * (1 - 2*cos(a) + cos^2(a))/sin^2(a)

= 1 + cos(a)/sin(a) + cos(a)/sin(a) - 2*cos^2(a)/sin^2(a) + cos^3(a)/sin^3(a)

Сгруппируем подобные слагаемые:

= (1 + cos(a) + cos(a))/sin(a) - 2*cos^2(a)/sin^2(a) + cos^3(a)/sin^3(a)

= (2cos(a) + 1)/sin(a) - 2cos^2(a)/sin^2(a) + cos^3(a)/sin^3(a)

Теперь упростим числитель:

= (2cos(a) + 1)/sin(a) - 2cos^2(a)/sin^2(a) + cos^3(a)/sin^3(a)

= 2cos(a)/sin(a) + 1/sin(a) - 2cos^2(a)/sin^2(a) + cos^3(a)/sin^3(a)

Выражение 2cos(a)/sin(a) равно 2cot(a), а cos(a)/sin(a) равно cot(a).

= 2cot(a) + 1/sin(a) - 2cos^2(a)/sin^2(a) + cos^3(a)/sin^3(a)

Теперь упростим знаменатель:

= 2cot(a) + 1/sin(a) - 2cos^2(a)/sin^2(a) + cos^3(a)/sin^3(a)

= 2cot(a) + csc(a) - 2cos^2(a)/sin^2(a) + cos^3(a)/sin^3(a)

Также заметим, что cos^2(a)/sin^2(a) равно 1 - sin^2(a)/sin^2(a