Question

Вычислите пожалуйста (1-i)^8

Answer 1

$z=1-i=1+(-1)*i$,  $z^8-?$

Ход решения: 1) переходим в тригонометрическую форму
                        2) используем формулу Муавра

запишем наше комплексное число в тригонометрическом виде:

$|z|=|1-i|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$

$arg(z)=arg(1-i)=arctg(\frac{-1}{1})=arctg(-1)=-\frac{\pi}{4}$

тогда: $z=|z|*(cos(arg(z))+i*sin(arg(z)))=$

$=\sqrt{2}*(cos(-\frac{\pi}{4})+i*sin(-\frac{\pi}{4})) =\sqrt{2}*(\frac{\sqrt{2}}{2}+i*(-\frac{\sqrt{2}}{2}))=$

$=1+i*(-1)=1-i$

была сделана проверка, а теперь:
$z^8=[\sqrt{2}*(cos(-\frac{\pi}{4})+i*sin(-\frac{\pi}{4}))]^8=2^4*(cos(-\frac{\pi}{4})+i*sin(-\frac{\pi}{4}))$

$=2^4*(cos(-8*\frac{\pi}{4})+i*sin(-8*\frac{\pi}{4}))=$

$=2^4*(cos(-2\pi})+i*sin(-2\pi))=2^4*(1-i*0)=2^4$

Answer 2

Для вычисления выражения (1 - i)^8 можно воспользоваться формулой Бинома Ньютона.

(1 - i)^8 = C(8, 0)(1)^8(-i)^0 + C(8, 1)(1)^7(-i)^1 + C(8, 2)(1)^6(-i)^2 + C(8, 3)(1)^5(-i)^3 + C(8, 4)(1)^4(-i)^4 + C(8, 5)(1)^3(-i)^5 + C(8, 6)(1)^2(-i)^6 + C(8, 7)(1)^1(-i)^7 + C(8, 8)(1)^0(-i)^8,

где C(n, k) обозначает число сочетаний из n по k.

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности:

C(8, 0)(1)^8(-i)^0 = 1(1)^8(1) = 1,

C(8, 1)(1)^7(-i)^1 = 8(1)^7(-i) = -8i,

C(8, 2)(1)^6(-i)^2 = 28(1)^6(-i)^2 = 28(-1) = -28,

C(8, 3)(1)^5(-i)^3 = 56(1)^5(-i)^3 = 56(-i) = -56i,

C(8, 4)(1)^4(-i)^4 = 70(1)^4(-i)^4 = 70(1) = 70,

C(8, 5)(1)^3(-i)^5 = 56(1)^3(-i)^5 = 56i,

C(8, 6)(1)^2(-i)^6 = 28(1)^2(-i)^6 = 28(-1) = -28,

C(8, 7)(1)^1(-i)^7 = 8(1)^1(-i)^7 = -8i,

C(8, 8)(1)^0(-i)^8 = 1(1)^0(1) = 1.

Суммируя все слагаемые, получаем:

(1 - i)^8 = 1 - 8i - 28 - 56i + 70 + 56i - 28 - 8i + 1.

Упрощая выражение, получаем:

(1 - i)^8 = -14 - 14i.

Таким образом, (1 - i)^8 равно -14 - 14i.