Question

Решить неравенство с модулем 2*|x+1|>x+4 2*|x|<=4+|x+1| Спасибо

Answer 1

2*|x+1| > x+4 .⇔[ 2(x+1) < -(x+4) ;  2(x+1) > (x+4).⇔[ x<-2 ; x >2.

ответ : x∈(-∞ ;-2) U (2 ; ∞) .
-------
2|x| ≤ 4+|x+1| ;
|x+1| -2|x| +4 ≥0 .
---
а)
 { x∈(-∞ ; -1) ; -(x+1) +2x +4 ≥0 .⇒  { x∈(-∞ ; -1) ; x   ≥ -3 .
x∈[ -3;-1) .
---
б)
   { x∈[-1;0) ;(x+1) +2x +4 ≥0 .⇒ { x∈[-1;0) ; x   ≥ -5/3 .
 x∈[-1;0) .
---
в)
 { x∈[0 ;∞) ;(x+1) -2x +4 ≥0 .⇒ { x∈[0 ;∞) ; x  ≤ 5 .
 x∈[0; 5] .

x∈ [ -3;-1) ∪ [-1; 0)  ∪[ 0 ;5] ⇔x∈  [ -3; 5] .

ответ : x∈  [ -3; 5] .

Answer 2

Давайте решим неравенства поочередно:

1. 2*|x+1| > x+4

Для начала разберемся с модулем. Если x+1 неотрицательно (x+1 ≥ 0), то |x+1| = x+1. Если же x+1 отрицательно (x+1 < 0), то |x+1| = -(x+1).

Разделим решение на два случая:

a) Пусть x+1 ≥ 0. Тогда |x+1| = x+1, исходное неравенство станет: 2*(x+1) > x+4

Упростим: 2x + 2 > x + 4

Вычтем x и вычтем 2 из обеих частей неравенства: x > 2

b) Пусть x+1 < 0. Тогда |x+1| = -(x+1), исходное неравенство станет: 2*(-(x+1)) > x+4

Упростим: -2x - 2 > x + 4

Вычтем x и вычтем 4 из обеих частей неравенства: -3x > 6

Разделим обе части на -3, при этом помним, что при делении на отрицательное число неравенство меняет знак: x < -2

Таким образом, для этого неравенства имеем два решения: x > 2 или x < -2.

2. 2*|x| ≤ 4+|x+1|

Аналогично, рассмотрим два случая:

a) Пусть x ≥ 0. Тогда |x| = x и |x+1| = x+1. Исходное неравенство примет вид: 2x ≤ 4 + (x + 1)

Упростим: 2x ≤ 5 + x

Вычтем x из обеих частей неравенства: x ≤ 5

b) Пусть x < 0. Тогда |x| = -x и |x+1| = -(x+1). Исходное неравенство станет: 2*(-x) ≤ 4 + (-(x+1))

Упростим: -2x ≤ 3 - x

Вычтем 3 и x из обеих частей неравенства: -2 ≤ -2x

Разделим обе части на -2, помня о том, что при делении на отрицательное число неравенство меняет знак: 1 ≥ x

Итак, для этого неравенства имеем два решения: x ≤ 5 или x ≥ 1.

Объединяя оба неравенства, получаем итоговое решение системы: x < -2 или x ≥ 1