Question

Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна 9, а сумма квадратов ее членов равна 40,5. Найдите сумму кубов членов этой прогрессии

Answer 1

b1/(1-q)=9⇒b1=9*(1-q)    

b1^2/(1-q^2)=40.5

81(1-q)^2/(1-q)*(1+q)=81*(1-q)/(1+q)=40.5

2(1-q)=1+q    2-2q=1+q   3q=1    q=1/3

b1=9*2/3=6

b2=b1*q=6*1/3=2

ответ 2

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся формулами для сумм геометрических прогрессий.

Пусть первый член прогрессии равен a, а знаменатель прогрессии равен q (|q| < 1).

Известно, что сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна 9:

S = a / (1 - q) = 9 ...(1)

Также известно, что сумма квадратов членов прогрессии равна 40,5:

S^2 = a^2 / (1 - q^2) = 40,5 ...(2)

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения a и q, а затем найти сумму кубов членов прогрессии.

Разделим уравнение (2) на уравнение (1):

(S^2) / S = (a^2 / (1 - q^2)) / (a / (1 - q))

S = a / (1 - q)

Simplified:

S = a * (1 - q) / (1 - q^2)

Подставим значение S = 9:

9 = a * (1 - q) / (1 - q^2) ...(3)

Умножим уравнение (3) на (1 - q^2):

9 * (1 - q^2) = a * (1 - q)

9 - 9q^2 = a - aq

Перенесем все термины на одну сторону:

aq - a + 9q^2 - 9 = 0

Факторизуем выражение:

a(q - 1) + 9q^2 - 9 = 0

(a - 9)(q - 1) + 9q^2 - 9 = 0

(a - 9)(q - 1) + 9(q^2 - 1) = 0

(a - 9)(q - 1) + 9(q - 1)(q + 1) = 0

(q - 1)((a - 9) + 9(q + 1)) = 0

Так как |q| < 1, то q - 1 ≠ 0, следовательно:

(a - 9) + 9(q + 1) = 0

a - 9 + 9q + 9 = 0

a + 9q = 0

q = -a / 9 ...(4)

Подставим выражение (4) в уравнение (1):

S = a / (1 - (-a / 9))

S = a / (1 + a / 9)

S = 9a / (9 + a) ...(5)

Подставим выражение (4) в уравнение (2):

(S^2) = a^2 / (1 - (-a / 9)^2)

(S^2) = a^2 / (1 + a^2 / 81)

81(S^2) = 81a^2 / (