Question

Решите неравенство F(x)<0, если F(x) первообразная для функции f(x)=2x-1 и F(0)=-2

Answer 1

$f(x)=2x-1=\ \textgreater \ F(x)=x^2-x+C\\ F(0)=-2=\ \textgreater \ C=-2\\ F(x)=x^2-x-2\\ x^2-x-2\ \textless \ 0\\ (x-2)(x+1)\ \textless \ 0$
____+____-1______-______2_____+_____
$-1\ \textless \ x\ \textless \ 2$

Answer 2

Чтобы решить данное неравенство, мы должны найти первообразную функции f(x), а затем использовать начальное условие, чтобы найти значение постоянной интегрирования. После этого мы сможем определить интервалы, на которых F(x) меньше нуля.

Итак, начнем с нахождения первообразной функции f(x). Интегрируя функцию f(x)=2x-1, получаем:

F(x) = ∫(2x-1) dx = x^2 - x + C,

где C - константа интегрирования.

Далее, используем начальное условие F(0) = -2 для определения значения константы C:

-2 = F(0) = 0^2 - 0 + C, C = -2.

Теперь мы можем записать F(x) с учетом найденного значения константы C:

F(x) = x^2 - x - 2.

Неравенство F(x) < 0 означает, что нам нужно найти интервалы, на которых функция F(x) меньше нуля.

Для этого решим уравнение F(x) = 0:

x^2 - x - 2 = 0.

Это квадратное уравнение, которое можно факторизовать:

(x - 2)(x + 1) = 0.

Отсюда получаем два корня: x = 2 и x = -1.

Теперь рассмотрим интервалы между этими корнями и за пределами них:

1. Когда x < -1: Подставляя x = -2 в F(x), получаем: F(-2) = (-2)^2 - (-2) - 2 = 4 + 2 - 2 = 4. Таким образом, на этом интервале F(x) > 0.

2. Когда -1 < x < 2: В этом интервале мы не знаем, как ведет себя функция F(x), поэтому нужно провести анализ.

3. Когда x > 2: Подставляя x = 3 в F(x), получаем: F(3) = 3^2 - 3 - 2 = 9 - 3 - 2 = 4. Таким образом, на этом интервале F(x) > 0.

Итак, неравенство F(x) < 0 выполняется только в интервале -1 < x < 2.