Question

Найдите интервалы монотонности и точки экстремума функции y = x^3 - 9x^2 + 15x - 7x

Answer 1

y= x^{3} -9x^{2} +15x-7x

y=x^{3} -9x^{2} +8x

x∈R

Answer 2

Для нахождения интервалов монотонности и точек экстремума функции y = x^3 - 9x^2 + 15x - 7x, необходимо сначала найти производную этой функции, а затем проанализировать ее поведение.

Найдем производную функции y по переменной x:

y' = 3x^2 - 18x + 15 - 7

Упростим:

y' = 3x^2 - 18x + 8

Теперь решим уравнение y' = 0, чтобы найти точки экстремума:

3x^2 - 18x + 8 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью квадратного корня или факторизации. Проведем факторизацию:

3x^2 - 18x + 8 = 0 (x - 2)(3x - 4) = 0

Отсюда получаем два корня:

x - 2 = 0 => x = 2 3x - 4 = 0 => x = 4/3

Таким образом, у нас есть две точки экстремума: x = 2 и x = 4/3.

Теперь проанализируем знак производной в различных интервалах между и после найденных корней.

Для x < 4/3: Выберем тестовую точку x = 0: y' = 3(0)^2 - 18(0) + 8 = 8 > 0

Таким образом, на интервале (-∞, 4/3) функция возрастает.

Для 4/3 < x < 2: Выберем тестовую точку x = 1: y' = 3(1)^2 - 18(1) + 8 = -7 < 0

Значит, на интервале (4/3, 2) функция убывает.

Для x > 2: Выберем тестовую точку x = 3: y' = 3(3)^2 - 18(3) + 8 = 8 > 0

Таким образом, на интервале (2, +∞) функция возрастает.

Теперь составим таблицу интервалов монотонности и точек экстремума:

Интервал | Монотонность

(-∞, 4/3) | Возрастание 4/3 | Минимум (4/3, 2) | Убывание 2 | Максимум (2, +∞) | Возрастание

Таким образом, функция имеет минимум в точке x = 4/3 и максимум в точке x = 2.