Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2; y=2x если можно напишите на листочке

Answer 1

Вычислим определенный интеграл (см фото)
По формуле Ньютона-Лейбница 
$\int\limits^2_0 {(2x-x^2)} \, dx = \frac{2x^2}{2} - \frac{x^3}{3}/^2_0=x^2- \frac{x^3}{3} /^2_0= 4- \frac{8}{3}= \\ \\ = \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3}$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и определить пределы интегрирования. В данном случае у нас есть две кривые: y = x^2 и y = 2x.

Для начала найдем точки пересечения этих двух кривых. Приравняем выражения для y и получим уравнение:

x^2 = 2x

Перенесем все в одну сторону и получим квадратное уравнение:

x^2 - 2x = 0

Факторизуем его:

x(x - 2) = 0

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: x = 0 и x = 2.

Теперь мы можем найти пределы интегрирования для определения площади. На данном отрезке [0, 2] значение кривой y = x^2 всегда меньше значения кривой y = 2x. Поэтому площадь фигуры можно найти, вычислив интеграл разности двух кривых на данном отрезке.

Площадь фигуры S можно вычислить следующим образом:

S = ∫(2x - x^2) dx, где x изменяется от 0 до 2.

Вычислим этот интеграл:

S = ∫(2x - x^2) dx = [x^2 - (1/3)x^3] | от 0 до 2 = (2^2 - (1/3)2^3) - (0^2 - (1/3)0^3) = (4 - 8/3) - (0 - 0) = 12/3 - 8/3 = 4/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 и y = 2x, равна 4/3 или 1 1/3 квадратных единицы.