Question

Докажите, что при любом а, значение выражения а^3+17а будет кратно 6.

Answer 1

Подставь место а любую цифру к примеру а=2, 2³+17*2=8+34=42 кратно 6 т.к делится без остатка

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, нужно показать, что выражение $a^3 + 17a$ делится на 6 для любого значения $a$. Чтобы это сделать, мы можем рассмотреть два случая: $a$ четное и $a$ нечетное.

1. Случай, когда $a$ четное: Предположим, что $a$ - четное число. Это означает, что $a$ можно записать в виде $a = 2k$, где $k$ - целое число. Подставим это значение в выражение: $a^3 + 17a = (2k)^3 + 17(2k) = 8k^3 + 34k = 2(4k^3 + 17k).$ Заметим, что $4k^3 + 17k$ также является целым числом, поэтому мы можем записать $4k^3 + 17k$ в виде $4k^3 + 17k = 2m$, где $m$ - целое число. Таким образом, выражение $a^3 + 17a$ делится на 2.

2. Случай, когда $a$ нечетное: Предположим, что $a$ - нечетное число. Тогда $a$ можно записать в виде $a = 2k + 1$, где $k$ - целое число. Подставим это значение в выражение: $a^3 + 17a = (2k + 1)^3 + 17(2k + 1) = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 + 34k + 17 = 8k^3 + 12k^2 + 40k + 18.$ Заметим, что $8k^3 + 12k^2 + 40k$ делится на 2, так как каждый из членов является четным числом. Также заметим, что $18$ также делится на 2. Поэтому, выражение $a^3 + 17a$ делится на 2.

Таким образом, в обоих случаях мы доказали, что $a^3 + 17a$ делится на 2. Теперь рассмотрим деление на 3.

Вспомним, что $a$ может быть как четным, так и нечетным. Рассмотрим два случая:

1. Случай, когда $a$ кратно 3: Если $a$ кратно 3, то $a$ можно записать в виде $a = 3k$, где $k$ - целое число. Подставим это значение в выражение: $a^3 + 17a = (3k)^3 + 17(3k) = 27k^3 + 51k = 3(9k^3 + 17k).$ Заметим,