Question

Подайте число 12 у вигляді суми двох невід’ємних доданків так, щоб добуток квадрата одного з них на подвоєне друге число був найбільшим.

Answer 1

Добуток маэ экстремум у точцi, де похiдна= нулю.

х+у=12, звiдси у=12-х,

х^2*2у=2х^2*(12-х)=24х^2-2х^3,

(24х^2-2х^3)'=48х-6х^2,

48х-6х^2=0,

6х(8-х)=0,

х=0, тодi у=12 и х^2*2у=0^2*2*12=0,

х=8, тодi у=4 х^2*2у=8^2*2*4=64*8=512.

Вiдповiдь : 8 и 4.

Answer 2

Щоб знайти суму двох невід'ємних доданків, які задовольняють умову, спробуємо розкласти число 12 на два доданки і обчислити вираз, який потрібно максимізувати.

Нехай перший доданок буде x, а другий - (12 - x). За умовою, ми хочемо максимізувати вираз (x^2) * (2*(12-x)). Отже, ми шукаємо максимум функції f(x) = 2x^3 - 24x^2.

Для знаходження максимуму візьмемо похідну від функції f(x) і прирівняємо її до нуля:

f'(x) = 6x^2 - 48x = 0

Поділимо обидві частини на 6:

x^2 - 8x = 0

x(x - 8) = 0

Отримуємо два корені: x = 0 та x = 8.

Тепер перевіримо значення функції f(x) в цих точках та на кінцях інтервалу [0, 12]:

f(0) = 2 * 0^3 - 24 * 0^2 = 0

f(8) = 2 * 8^3 - 24 * 8^2 = 1024

f(12) = 2 * 12^3 - 24 * 12^2 = 0

Як бачимо, максимальне значення функції досягається при x = 8. Тому, число 12 можна представити як суму двох невід'ємних доданків так: 12 = 8 + (12 - 8).