Question

Найдите пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя. lim x->0 (1-корень из 1-х)/sin3x

Answer 1

lim(x->0) (1 - √(1-x))/sin(3x)

Умножаем и делим на сопряженное. Я запишу отдельно.

Числитель:

(1 - √(1-x))(1 + √(1-x)) = 1 - (1-x) = x

Знаменатель:

sin(3x)(1 + √(1-x))

Теперь с помощью 1 Замечательного предела решаем:

lim(x->0) x/sin(3x) = 1/3

И остается

lim(x->0) 1/(1 + √(1-x)) = 1/(1 + √(1-0)) = 1/(1+√1) = 1/2.

Все вместе

1/3*1/2 = 1/6 - ЭТО ОТВЕТ

Answer 2

Чтобы найти предел функции без использования правила Лопиталя, можно применить алгебраические преобразования и замены переменных. Рассмотрим предел:

lim x→0 (1 - √(1 - x)) / sin(3x)

Сначала заметим, что можно умножить числитель и знаменатель на выражение (1 + √(1 - x)), чтобы избавиться от корня в числителе:

lim x→0 [(1 - √(1 - x)) / sin(3x)] * [(1 + √(1 - x)) / (1 + √(1 - x))]

Теперь мы можем использовать формулу разности квадратов в числителе:

lim x→0 [(1 - √(1 - x)) * (1 + √(1 - x))] / [sin(3x) * (1 + √(1 - x))]

Теперь раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

lim x→0 [1 - (1 - x)] / [sin(3x) * (1 + √(1 - x))]

lim x→0 x / [sin(3x) * (1 + √(1 - x))]

Далее, рассмотрим предел отдельных составляющих:

lim x→0 x = 0 (по определению)

lim x→0 sin(3x) = 0 (так как sin(0) = 0)

lim x→0 (1 + √(1 - x)) = 2 (подставим x = 0, получим 1 + √1 = 1 + 1 = 2)

Теперь объединим все пределы:

lim x→0 [x / (sin(3x) * (1 + √(1 - x)))] = 0 / (0 * 2) = 0

Таким образом, предел функции равен 0 при x стремящемся к 0.