Question

Розв’яжіть задачу: Різниця між першим та другим членами спадної геометричної прогресії дорівнює 8, а сума другого і третього її членів дорівнює 12. Знайдіть перший член і знаменник прогресії.

Answer 1

B₁- b₂= 8
b₂ + b₃= 12
b₁-?   q-?
Решение:
b₁- b₂= 8               b₁ - b₁q = 8               b₁(1 - q) = 8           b₁ = 8/(1 - q)
b₂ + b₃= 12,          b₁q + b₁q² = 12,       b₁(q + q²) = 12,     это подстановка
подставим во 2-е уравнение.
8/(1 - q) * (q + q²) = 12|*(q + q²)
8q +8q² = 12 - 12q
8q² + 20q -12 = 0
2q² + 5q -3 = 0
D = 49
q₁ = 1/2,                       q₂ = -3
a₁=8/0,5 = 16               а₁ = 8/4 = 2

Answer 2

Позначимо перший член геометричної прогресії як "a", а знаменник прогресії як "r".

За умовою задачі, різниця між першим і другим членами прогресії дорівнює 8. Тобто, другий член буде a * r, і можемо записати рівняння:

a * r - a = 8 ---(1)

Також задано, що сума другого і третього членів прогресії дорівнює 12. Тобто, другий член - a * r, а третій член буде (a * r) * r, і ми отримуємо:

(a * r) + ((a * r) * r) = 12 ---(2)

Тепер розв’яжемо цю систему рівнянь.

З (1) ми можемо виразити a * r через a:

a * r - a = 8 a * r = a + 8 r = (a + 8) / a

Підставимо цей вираз для r в (2):

(a * ((a + 8) / a)) + (a * ((a + 8) / a) * ((a + 8) / a)) = 12

Спростимо це рівняння:

(a + 8) + (a + 8)^2 = 12 a + 8 + a^2 + 16a + 64 = 12 a^2 + 17a + 60 = 0

Тепер ми можемо розв'язати це квадратне рівняння. Знайдемо його корені:

(a + 5)(a + 12) = 0

Звідси ми отримуємо два можливих значення для "a": a = -5 або a = -12.

Якщо a = -5, підставимо його в (1) для знаходження r:

r = (a + 8) / a r = (-5 + 8) / (-5) r = 3 / 5

Таким чином, перший член прогресії a = -5 і знаменник прогресії r = 3 / 5.

Аналогічно, якщо a = -12:

r = (a + 8) / a r = (-12 + 8) / (-12) r = -1 / 3

Таким чином, перший член прогресії a = -12 і знаменник прогресії r = -1 / 3.

Отже, є два можливих розв'язки: (a = -5, r = 3 / 5) або (a = -12, r