Question

Вычислить пределы: lim -> ∞, (2х-3/2х+5) в степени х-1,

Answer 1

Решение во вложении----------------------

Answer 2

Чтобы вычислить предел этой функции, мы можем использовать свойство предела функции вида (a^b)^c = a^(b*c).

В данном случае, у нас есть функция вида ((2x - 3) / (2x + 5))^(x - 1). Давайте разложим ее в виде:

((2x - 3) / (2x + 5))^(x - 1) = ((2 - 3/x) / (2 + 5/x))^(x - 1)

Теперь, когда x стремится к бесконечности, оба выражения 3/x и 5/x стремятся к нулю. Поэтому мы можем записать предел как:

lim (x->∞) ((2 - 3/x) / (2 + 5/x))^(x - 1) = ((2 - 0) / (2 + 0))^∞

Здесь у нас получается вида 1^∞, что является неопределенной формой предела. Чтобы продолжить, мы можем преобразовать это выражение с использованием экспоненциальной функции:

lim (x->∞) ((2 - 3/x) / (2 + 5/x))^(x - 1) = e^(ln(((2 - 3/x) / (2 + 5/x))^(x - 1)))

Теперь мы можем вычислить предел ln(((2 - 3/x) / (2 + 5/x))^(x - 1)) и применить его к экспоненциальной функции e^x. Давайте продолжим с вычислением предела ln(((2 - 3/x) / (2 + 5/x))^(x - 1)):

ln(((2 - 3/x) / (2 + 5/x))^(x - 1)) = (x - 1) * ln(((2 - 3/x) / (2 + 5/x)))

Теперь мы можем использовать свойство предела (x * ln(a)) = ln(a^x):

lim (x->∞) (x - 1) * ln(((2 - 3/x) / (2 + 5/x))) = ln((((2 - 3/x) / (2 + 5/x)))^(x - 1))

Теперь, когда x стремится к бесконечности, оба выражения 3/x и 5/x стремятся к нулю. Мы можем использовать это, чтобы упростить выражение:

ln((((2 - 3/x) / (2 + 5/x)))^(x - 1)) = ln(((2/2)^(x - 1)))

Теперь у нас есть предел вида ln((1)^(∞)). Используя свойство ln(1) = 0, мы можем записать предел как:

lim (x->∞) ln(((2/2)^(x - 1))) = ln(1) = 0

Итак, предел функции (2x -