Question

Упростить выражение а) (2+1)(2²+1)(2⁴+1)...(2³²+1)+1 б) (200+1)(200-2)(200+3)(200-4)...(200+2007)(200-2008)

Answer 1

а)
Домножим заданное выражение на 1, причем представим 1 как (2-1), тогда можно будет применить несколько раз формулу разности квадратов:
$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)+1 = \\\ =(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)+1 = \\\ =(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)+1 = \\\ =(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)+1 = \\\ =(2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)+1 = \\\ =(2^{16}-1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)+1 = \\\ =(2^{32}-1)(2^{32}+1)+1 =(2^{64}-1)+1=2^{64}$
Ответ: $2^{64}$

б)
Заметим, что для каждого множителя (скобки) числа от 1 до 2008 прибавляются к фиксированному числу 200, если они нечетные, и отнимаются от фиксированного числа 200, если они четные. Тогда, в произведении встретится скобка (200-200): так как число 200 четное, то в этой скобке оно будет отниматься от фиксированного числа 200. Следовательно, один из множителей равен 0, а значит и все произведение равно 0.
Ответ: 0

Answer 2

а) Чтобы упростить выражение (2+1)(2²+1)(2⁴+1)...(2³²+1)+1, можно заметить следующую закономерность: каждый множитель представляет собой сумму двух квадратов вида x²+1, где x равно предыдущему множителю умноженному на 2. Таким образом, можно записать выражение следующим образом:

(2+1)(2²+1)(2⁴+1)...(2³²+1)+1 = (2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)...(2³²+1)(2⁶⁴+1) + 1

Выражение внутри скобок (2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)...(2³²+1)(2⁶⁴+1) представляет собой сумму квадратов, которую можно упростить с помощью формулы разности квадратов:

a²+1 = (a+1)(a-1) + 1 = a² - 1 + 1 = a²

Таким образом, выражение (2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)...(2³²+1)(2⁶⁴+1) упрощается до:

(2²)(2⁴)(2⁸)...(2³²)(2⁶⁴) = 2^(2+4+8+...+32+64) = 2^(2(1+2+4+...+32+64))

Сумма прогрессии 1+2+4+...+32+64 может быть найдена с помощью формулы:

S = (a(1 - r^n))/(1 - r),

где a = 1, r = 2, n = 7 (сумма содержит 7 слагаемых). Подставляя значения, получаем:

S = (1(1 - 2^7))/(1 - 2) = (1 - 128)/(-1) = 127.

Таким образом, выражение (2+1)(2²+1)(2⁴+1)...(2³²+1)+1 упрощается до:

2^(2(1+2+4+...+32+64)) + 1 = 2^(2(127)) + 1 = 2^254 + 1.

б) Чтобы упростить выражение (200+1)(200-2)(200+3)(200-4)...(200+2007)(200-2008), можно заметить, что каждый множитель представляет собой разность двух квадратов вида (a+b)(a-b), где a = 200 и b равно номеру множителя, умноженному на (-1)^n. Таким образом, можно записать выражение следующим образом:

(200+1)(200-2)(200+