Question

Пожалуйста, помогите решить 4) Упростить выражение (2+cos альфа)(2-cos альфа)+(2-sin альфа)(2+sin альфа)= 5)Найти область определения f(x)=lg(36-x^2)-lg(6-x) 6)Найти производную функции в точке f(x)=x^2-1/2x+1,X нулевое=1

Answer 1

4. (2+cos альфа)(2-cos альфа)+(2-sin альфа)(2+sin альфа)=
=(2²-cos²a)+(2²-sin²a)=
=4-cos²a+4-sin²a=
=8-(cos²a+sin²a)=8-1=7.

5.
{36-x²>0
{6-x>0

{-(x²-36)>0. *(-1)
{-x>-6

{x²-36<0
{x<6

{(x-6)(x+6)<0
{x<6

{хє(-6;6)
{хє(-∞;6)
общее хє(-6;6).

6.
$f(x) = \frac{ {x}^{2} - 1 }{2x + 1}$
$f'(x) = \frac{( {x}^{2} - 1)'(2x + 1) - (2x + 1)'( {x}^{2} - 1)}{ {(2x + 1)}^{2} } = \\ = \frac{2x(2x + 1) - 2( {x}^{2} - 1)}{ {(2x + 1)}^{2} } = \\ = \frac{4 {x}^{2} + 2x - 2 {x}^{2} + 2 }{ {(2x + 1)}^{2} } = \\ = \frac{2 {x}^{2} + 2x + 2}{ {(2x + 1)}^{2} }$
$f'( x_{0}) = f'(1) = \\ = \frac{2 \times {1}^{2} + 2 \times 1 + 2}{ {(2 \times 1 + 1)}^{2} } = \\ = \frac{2 + 2 + 2}{ {(2 + 1)}^{2} } = \\ = \frac{6}{ {3}^{2} } = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Answer 2

4. Упростим выражение:

(2 + cos α)(2 - cos α) + (2 - sin α)(2 + sin α)

Применим формулу разности квадратов для первого слагаемого и второго слагаемого:

(4 - cos^2 α) + (4 - sin^2 α)

Заметим, что cos^2 α + sin^2 α = 1 (это тождество тригонометрии), поэтому:

(4 - cos^2 α) + (4 - sin^2 α) = 8 - (cos^2 α + sin^2 α) = 8 - 1 = 7

Таким образом, упрощенное выражение равно 7.

5. Чтобы найти область определения функции f(x) = lg(36 - x^2) - lg(6 - x), необходимо рассмотреть значения аргументов, при которых выражения внутри логарифмов являются неположительными числами или равны нулю, так как логарифм отрицательного числа или нуля не определен.

Для первого логарифма: 36 - x^2 ≤ 0 Решим неравенство: x^2 ≥ 36 Это неравенство выполнено при x ≤ -6 и x ≥ 6.

Для второго логарифма: 6 - x ≤ 0 Решим неравенство: x ≥ 6

Объединяя оба условия, получаем, что область определения функции f(x) = lg(36 - x^2) - lg(6 - x) - это множество всех x таких, что x ≤ -6 или x ≥ 6.

6. Чтобы найти производную функции f(x) = x^2 - (1/2)x + 1 в точке x₀ = 1, нужно вычислить значение производной в этой точке.

f'(x) = 2x - 1/2

Подставим x = 1:

f'(1) = 2(1) - 1/2 = 2 - 1/2 = 3/2

Таким образом, производная функции f(x) равна 3/2 в точке x = 1.