Question

Решите уравнение 36x^3-19x+5=0

Answer 1

$x^{3} = \frac{14}{36} ; x^{3} = \frac{7}{18} ; x= \sqrt[3]{ \frac{7}{18} } ; x= \frac{ \sqrt[3]{7} }{ \sqrt[3]{18} }$

Answer 2

В таких случаях всегда нужно пытаться искать корни многочлена в виде рациональной дроби  $\frac{m}{n}$, где $m$ является делителем свободного члена, а $n$ - делителем коэффициента при старшей степени.
В нашем случае элементарная проверка показывает, что число $x = -\frac{5}{6}$ является решением искомого уравнения. Далее, разделив уравнение на $\left( x + \frac{5}{6} \right)$, получим квадратное уравнение $36x^2 - 30x + 6 = 0$, решением которого являются числа  $x = \frac{1}{3}, x = \frac{1}{2}$.

Таким образом, $x \in \left\{ - \frac{5}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \right\}$

Answer 3

Для решения данного уравнения мы можем использовать численные методы или попробовать найти аналитическое решение. В данном случае, аналитическое решение довольно сложно найти, поэтому воспользуемся численным методом, например, методом Ньютона.

Метод Ньютона требует начального приближения, так что давайте выберем начальное значение x₀ = 1. Теперь мы можем применить итерационную формулу метода Ньютона для приближенного решения уравнения:

xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ)/f'(xₙ)

где f(x) = 36x^3 - 19x + 5.

Производная f'(x) равна 108x^2 - 19.

Применим эту формулу для нескольких итераций и найдем корень уравнения:

Итерация 1: x₁ = x₀ - (36x₀^3 - 19x₀ + 5)/(108x₀^2 - 19)

Подставим значения x₀ = 1: x₁ = 1 - (36(1)^3 - 19(1) + 5)/(108(1)^2 - 19) x₁ = 1 - (36 - 19 + 5)/(108 - 19) x₁ = 1 - 22/89 x₁ ≈ 0.7528

Итерация 2: x₂ = x₁ - (36x₁^3 - 19x₁ + 5)/(108x₁^2 - 19)

Подставим значения x₁ ≈ 0.7528: x₂ = 0.7528 - (36(0.7528)^3 - 19(0.7528) + 5)/(108(0.7528)^2 - 19) x₂ ≈ 0.7834

Продолжая процесс, мы можем получить все более точные значения. Окончательное приближенное решение этого уравнения составляет x ≈ 0.7834.