Question

Математическая индукция Доказать, что при любом действует утверждение 5 | ()5 делит утверждение ( | ) - знак обозначающий деление

Answer 1

Степени  тройки  оканчиваются на  чередующиеся цифры: 3,9,7,1,3,9,7,1....  При  n=4k   у нас  всегда  будет  цифра   1  в конце  3^n.

Значит    3^4k +4  кончается на цифру  5.  А  значит по признаку делимости на 5 это число делится на 5

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: База индукции При n = 1, утверждение принимает вид 5 | (5). Очевидно, что 5 делит 5 без остатка, поэтому база индукции выполняется.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что при некотором k утверждение верно, то есть 5 | (5k). Предположение индукции: утверждение 5 делит 5k без остатка.

Шаг 3: Индукционный переход Докажем, что утверждение верно для k+1. Нам нужно доказать, что 5 | (5(k+1)).

Разложим (5(k+1)) следующим образом: 5(k+1) = 5k + 5.

Используя предположение индукции, мы знаем, что 5 делит 5k без остатка, то есть есть целое число m, такое что 5k = 5m.

Теперь рассмотрим выражение 5k + 5. Подставим в него значение 5k = 5m:

5k + 5 = 5m + 5.

Заметим, что это выражение можно переписать как 5(m + 1), где (m + 1) также является целым числом.

Таким образом, мы получили выражение вида 5(m + 1), которое делится на 5 без остатка.

Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для k, то оно верно и для k+1.

По принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных чисел n.

Таким образом, мы доказали, что при любом n действует утверждение 5 | (5n), то есть 5 делит 5n без остатка.