Question

СРОЧНО!!!! Решите, пожалуйста, уравнение. sin^2(x)+sin^2(2x)+cos^2(3x)+cos^2(4x)=2

Answer 1

По формуле понижения степени:  $\sin^2 \alpha = \dfrac{1-\cos2 \alpha }{2} ;~~~ \cos^2 \alpha =\dfrac{1+\cos2 \alpha }{2}$
    
$\dfrac{1-\cos2 x }{2} + \dfrac{1-\cos4 x }{2} + \dfrac{1+\cos6 x }{2} + \dfrac{1+\cos8 x }{2} =2\\ \\ 1-\cos2x+1-\cos4x+1+\cos6x+1+\cos8x=4\\ \\ \cos6x+\cos 8x-(\cos 2x+\cos 4x)=0\\ \\ 2\cos7x\cos x-2\cos x\cos3x=0\\ \\ 2\cos x(\cos 7x-\cos 3x)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю
$\cos x=0;~~~\Rightarrow~~~ x= \frac{\pi}{2}+ \pi n,n \in \mathbb{Z}$

$\cos 7x-\cos 3x=0$

$-2\sin5x\sin2x=0$

$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}\sin5x=0\\ \\ \sin 2x=0\end{array}\right~~~\Rightarrow~~~ \left[\begin{array}{ccc}x= \frac{\pi n}{5},n \in \mathbb{Z} \\ \\ x= \frac{\pi n}{2},n \in \mathbb{Z} \end{array}\right$

Answer 2

Давайте решим данное уравнение.

Используем следующие тождества тригонометрии: sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2 cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2

Заменим sin^2(x) и cos^2(x) в уравнении: (1 - cos(2x))/2 + (1 - cos(4x))/2 + (1 + cos(6x))/2 + (1 + cos(8x))/2 = 2

Упростим уравнение: 2 - (cos(2x) + cos(4x) + cos(6x) + cos(8x)) = 2

Теперь приведем все слагаемые к одному общему знаменателю: 2 - [cos(2x) + cos(4x) + cos(6x) + cos(8x)] = 2

Избавимся от внешних скобок: 2 - cos(2x) - cos(4x) - cos(6x) - cos(8x) = 2

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения: -cos(2x) - cos(4x) - cos(6x) - cos(8x) = 0

Теперь у нас есть уравнение: cos(2x) + cos(4x) + cos(6x) + cos(8x) = 0

Одно из решений данного уравнения — x = 0. Если вы ищете другие решения, пожалуйста, уточните вопрос или предоставьте больше информации.