Question

Докажите, что при любом натуральном n: а) если n^2-1 четно, то n^2-1 делится на 8; б) если n^3-4n четно, то n^3-4n делится на 48

Answer 1

1)разложим (n-1)(n+1) - четно, то это произведение двух четных или нечного на четное, т.е. для всех n не кратных 2 мы получим умножение двух четных чисел причем одно из них делится на 4, а другое на 2, что вместе дает 8

2) аналогично разложим n(n-2)(n+2)- четно, произведение всех четных, одно из них всегда делится на 4, другое на 2, а третье на 6, в итоге получаем 48

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое утверждение по отдельности:

а) Если $n^2-1$ четно, то мы можем записать его в виде $n^2-1=2k$, где $k$ - целое число.

Мы хотим доказать, что $n^2-1$ делится на 8, то есть существует целое число $m$, такое что $n^2-1=8m$.

Заметим, что $n^2-1=(n-1)(n+1)$. При этом, $n-1$ и $n+1$ являются двумя подряд идущими целыми числами.

Таким образом, одно из них является четным, а другое - нечетным. Значит, одно из них делится на 2, а другое - нет.

Давайте рассмотрим несколько случаев:

1. Если $n-1$ делится на 2, то мы можем записать его как $n-1=2p$, где $p$ - целое число.

Тогда $n+1=2p+2=2(p+1)$, и $n+1$ делится на 2.

Поэтому, $n-1$ делится на 2, а $n+1$ делится на 2. Следовательно, $n^2-1=(n-1)(n+1)$ делится на 2.

2. Если $n+1$ делится на 2, то мы можем записать его как $n+1=2p$, где $p$ - целое число.

Тогда $n-1=2p-2=2(p-1)$, и $n-1$ делится на 2.

Поэтому, $n-1$ делится на 2, а $n+1$ делится на 2. Следовательно, $n^2-1=(n-1)(n+1)$ делится на 2.

В обоих случаях мы показали, что $n^2-1$ делится на 2.

Теперь рассмотрим деление на 4:

Мы знаем, что $n^2-1=(n-1)(n+1)$ делится на 2.

Если $n-1$ делится на 2, то мы можем записать его как $n-1=2p$, где $p$ - целое число.

Тогда $n+1=2p+2=2(p+1)$, и $n+1$ делится на 2.

В этом случае, и $n-1$ и $n+1$ делятся на 2, но не делятся на 4. Таким образом, $(n-1)(n+1)$ делится на 4, но не на 8.

Если $n+1$ делится на 2, то мы можем записать его как $n+1=2p$, где $p$ - целое число.

Тогда (n-1=