Question

Пожалуйста,помогите с тригонометрией:)sin^2(x)+sin^2(2x)=sin^2(3x)+sin^2(4x)

Answer 1

я сразу решение буду писать)

(1-cos2x)/2 + (1-cos4x)/2 - 1+cos6x/2 - 1 + cos8x/2==0

домножим на 2 чтобы сократить знаменатель

и получаем

1 - cos2x + 1 - cos4x - 1 + cos6x - 1 + cos8x=0

-cos2x  - cos4x + cos6x + cos8x=0

дальше решаем методом группировки

-(cos2x + cos4x)+(cos6x+cos8x)=0

видим что в каждой скобке формула суммы косинусов

-2cos(2+4)/2 * cos(2-4)/2 - 2cos(6+8)/2 * cos(6-8)/2 (минус я вперед сразу вытащил

2cos3x*cosx - 2cos7x*cosx=0

выносим 2cosx за скобки и снова видим что у нас формула в скобках разность косинусов

2cosx(cos3x - cos7x)=0

2cosx(-2sin(-2x)*sin5x)=0

2cosx(2sin2x*sin5x)=0

разделим на 2 чтоб двойки не мешали

теперь каждое приравниваем к 0

1) cosx=0

Ответ:   x=P/2 +pn    n принадлежит z

2) sin2x=0

2x=Pk

Ответ :  x = Pk/2       k принадлежит z

3) sin5x=0

 5x=Pm

Ответ:  x = Pm/5

ну вот три ответа)

решение правильное так как подобные уже решал)

Если что-то не понятно пиши)

Answer 2

Давайте решим данное тригонометрическое уравнение по шагам.

Начнем с раскрытия квадратов: sin^2(2x) = (sin(2x))^2 = (2sin(x)cos(x))^2 = 4sin^2(x)cos^2(x) sin^2(3x) = (sin(3x))^2 = (3sin(x) - 4sin^3(x))^2 = 9sin^2(x) - 24sin^3(x) + 16sin^4(x) sin^2(4x) = (sin(4x))^2 = (4sin(x)cos(3x))^2 = 16sin^2(x)cos^2(3x)

Заменим эти значения в исходном уравнении: sin^2(x) + 4sin^2(x)cos^2(x) = 9sin^2(x) - 24sin^3(x) + 16sin^4(x) + 16sin^2(x)cos^2(3x)

Далее, объединим подобные слагаемые: 4sin^2(x)cos^2(x) + 16sin^2(x)cos^2(3x) = 9sin^2(x) - 24sin^3(x) + 16sin^4(x)

Заметим, что sin^2(x) является общим множителем слева и справа. Делим обе части уравнения на sin^2(x): 4cos^2(x) + 16cos^2(3x) = 9 - 24sin(x) + 16sin^2(x)

Раскроем cos^2(3x): 4cos^2(x) + 16(cos^2(x) - 3sin^2(x))^2 = 9 - 24sin(x) + 16sin^2(x)

Продолжим упрощение: 4cos^2(x) + 16(cos^2(x) - 9sin^2(x) + 6sin^4(x)) = 9 - 24sin(x) + 16sin^2(x)

Раскроем скобки и объединим подобные слагаемые: 4cos^2(x) + 16cos^2(x) - 144sin^2(x) + 96sin^4(x) = 9 - 24sin(x) + 16sin^2(x)

Получим: 20cos^2(x) - 128sin^2(x) + 96sin^4(x) - 24sin(x) + 7 = 0

Обозначим sin(x) = a и cos(x) = b: 20b^2 - 128a^2 + 96a^4 - 24a + 7 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно a. Мы можем решить его численно или с помощью компьютера.