Question

Исследуйте функцию f(x) = 2+9x+3x^2-x^3 на монотонность и экстремумы. 

Answer 1

f'(x)=9+6x-3x^2

крит точки функции:

9+6x-3x^2=0

x^2-2x-3=0          D=4+12=16         x=3 и x=-1

из рисунка видим, что:

f(x) возрастает на промежутках (-бесконечность;-1);(3;+бесконечность)

f(x) убывает на промежутке (-1;3)

Точки экстремумов:

x(min)=3          y(min)=0

x(max)=-1        y(max)=0

y(min)=9+18-27=0

y(max)=9-6-3=0

Answer 2

Чтобы исследовать функцию f(x) = 2 + 9x + 3x^2 - x^3 на монотонность и экстремумы, нам понадобится проанализировать ее производную.

1. Найдем первую производную функции f(x): f'(x) = 9 + 6x - 3x^2.

2. Чтобы найти критические точки, решим уравнение f'(x) = 0: 9 + 6x - 3x^2 = 0.

3. Решим полученное квадратное уравнение: 3x^2 - 6x - 9 = 0.

Мы можем разделить это уравнение на 3: x^2 - 2x - 3 = 0.

4. Решим квадратное уравнение, например, с помощью факторизации: (x - 3)(x + 1) = 0.

Из этого получаем два корня: x = 3 и x = -1.

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 3 и x = -1.

Теперь мы можем провести анализ монотонности и экстремумов функции f(x).

а) Анализ знака производной f'(x):

Проверим знак производной на интервалах между и вокруг критических точек:

• Если x < -1: Подставим x = -2 в f'(x): f'(-2) = 9 + 6(-2) - 3(-2)^2 = 9 - 12 - 12 = -15. Значит, на интервале (-∞, -1) производная f'(x) отрицательна.

• Если -1 < x < 3: Подставим x = 0 в f'(x): f'(0) = 9 + 6(0) - 3(0)^2 = 9. Значит, на интервале (-1, 3) производная f'(x) положительна.

• Если x > 3: Подставим x = 4 в f'(x): f'(4) = 9 + 6(4) - 3(4)^2 = 9 + 24 - 48 = -15. Значит, на интервале (3, ∞) производная f'(x) отрицательна.

б) Анализ экстремумов:

• Когда производная меняет знак с положительного на отрицательный, имеем локальный максимум. В нашем случае это происходит при x = 3.

• Когда производная меняет знак с отрицательного на положительный, имеем локальный минимум. В нашем случае это происходит при x = -1.

Таким образом, у функции f(x) = 2 + 9x