Question

Задание №BCDD48 а) Решите уравнение 2cos2x=3√sin(3π2+x). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π2].

Answer 1

2cos2x = √3sin(3Π/2+x)
2cos2x = -√3cosx 
cosx(2cosx +√3)=0cosx=0 
  x=п/2+пk cosx=-√3/2
    x=±(п-п/6)+2пn=±5п/6+2пn        k,n €Z

Answer 2

а) Решение уравнения 2cos(2x) = 3√sin(3π/2 + x):

Для начала, возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(2cos(2x))^2 = (3√sin(3π/2 + x))^2

Упростим:

4cos^2(2x) = 9sin(3π/2 + x)

Заметим, что cos^2(2x) = 1 - sin^2(2x), поэтому:

4(1 - sin^2(2x)) = 9sin(3π/2 + x)

Раскроем скобки:

4 - 4sin^2(2x) = 9sin(3π/2 + x)

Перепишем sin(3π/2 + x) в виде cos(x):

4 - 4sin^2(2x) = 9cos(π/2 - x)

Поменяем знак у cos(π/2 - x) на sin(x):

4 - 4sin^2(2x) = 9sin(x)

Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

4sin^2(2x) + 9sin(x) - 4 = 0

Получили квадратное уравнение относительно sin(2x). Решим его сначала относительно sin(2x):

Положим sin(2x) = t:

4t^2 + 9t - 4 = 0

Решим это уравнение с помощью квадратного трехчлена:

t = (-9 ± √(9^2 - 44(-4))) / (2*4)

t = (-9 ± √(81 + 64)) / 8

t = (-9 ± √145) / 8

Теперь решим sin(2x) = (-9 + √145) / 8 и sin(2x) = (-9 - √145) / 8 отдельно.

1. sin(2x) = (-9 + √145) / 8:

Используем обратные тригонометрические функции, чтобы найти x:

2x = arcsin((-9 + √145) / 8)

x = (1/2) * arcsin((-9 + √145) / 8)

2. sin(2x) = (-9 - √145) / 8:

2x = arcsin((-9 - √145) / 8)

x = (1/2) * arcsin((-9 - √145) / 8)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π/2]:

Для каждого найденного значения x из предыдущего пункта, проверьте, принадлежит ли оно отрезку [π; 5π/2]. Если да, то это будет являться корнем уравнения.

Таким образом, примените ограничения на