Question

Найдите корни уравнения cos(п/2-3х/2)=корень из 3/2, принадлежащие интервалу [3п/2; 2п]

Answer 1

$\cos( \frac{ \pi }{2} - \frac{3x}{2} )= \frac{ \sqrt{3} }{2};\,\frac{ \pi }{2} - \frac{3x}{2}= \pm\frac{ \pi }{6}+2\pi k,\,k\in\mathbb{Z} ;$
$\frac{3x}{2}= \frac{ \pi }{3}+2\pi k,\,k\in\mathbb{Z} ;\, x= \frac{ 2\pi }{9}+\frac{4\pi k}{3},\,k\in\mathbb{Z} ;\,$
или
$\frac{3x}{2}= \frac{ 2\pi }{3}+2\pi k,\,k\in\mathbb{Z} ;\, x= \frac{ 4\pi }{9}+\frac{4\pi k}{3},\,k\in\mathbb{Z} ;\,$
и решения принадлежащие заданому интервалу
$x= \frac{ 14\pi }{9};\, x= \frac{ 16\pi }{9}.$

Answer 2

Для решения уравнения cos(π/2 - (3x/2)) = √(3/2) на интервале [3π/2, 2π], мы можем использовать следующие шаги:

1. Начнем с приведения уравнения к более простой форме, используя тригонометрическую формулу синуса суммы: cos(π/2 - (3x/2)) = sin(3x/2) = √(1 - cos²(3x/2)) = √(1 - 3/4) = √(1/4) = 1/2

2. Теперь мы имеем уравнение sin(3x/2) = 1/2.

3. Находим значения угла, для которых sin(3x/2) = 1/2. Известно, что sin(π/6) = 1/2, поэтому можем записать:

   3x/2 = π/6 + 2πn, где n - целое число.

4. Решаем уравнение относительно x: 3x/2 = π/6 + 2πn 3x = π/3 + 4πn x = π/9 + (4/3)πn

5. Теперь, чтобы найти значения x в интервале [3π/2, 2π], мы подставляем n, чтобы получить значения, соответствующие этому интервалу. Значения n должны быть целыми числами, чтобы обеспечить нахождение x в указанном интервале.

   Если n = 1: x = π/9 + (4/3)π = π/9 + 4π/3 = (π + 12π)/9 = 13π/9

   Если n = 2: x = π/9 + (4/3)2π = π/9 + 8π/3 = (π + 24π)/9 = 25π/9

   Оба значения 13π/9 и 25π/9 являются корнями уравнения cos(π/2 - (3x/2)) = √(3/2) на интервале [3π/2, 2π].