Question

Докажите неравенство(5х-1)(2х+1)-(3х-7)^2>5(9х-1)-67

Answer 1

(5х-1)(2х+1)-(3х-7)^2>5(9х-1)-67
10x²-2x+5x-1-(9x²-42x+49)>45x-5-67
10x²+3x-1-9x²+42x-49>45x-72
x²+45x-50>45x-72
x²>50-72
x²>-22
Неравенство верно, т.к.  для любых х∈R  х² ≥0,  а число -22 <0

Answer 2

Давайте решим данное неравенство по шагам:

(5х-1)(2х+1) - (3х-7)^2 > 5(9х-1) - 67

Раскроем скобки:

(10х^2 + 5х - 2х - 1) - (9х^2 - 42х + 49) > 45х - 5 - 67

Упростим выражение:

10х^2 + 3х - 1 - 9х^2 + 42х - 49 > 45х - 72

Сократим подобные слагаемые:

-x^2 + 45х - 50 > 45х - 72

Теперь сократим 45х с обеих сторон:

-x^2 - 50 > -72

Перенесём -72 налево:

-x^2 - 50 + 72 > 0

-x^2 + 22 > 0

Сделаем замену -х^2 = у:

у + 22 > 0

Теперь решим неравенство у + 22 > 0:

у > -22

Из этого следует, что -х^2 > -22.

Умножим обе стороны на -1, меняя знак неравенства:

х^2 < 22

Таким образом, получаем, что неравенство (5х-1)(2х+1)-(3х-7)^2 > 5(9х-1)-67 выполняется для всех значений x, которые удовлетворяют условию х^2 < 22.