Question

Помогите, пожалуйста, решить уравнение 12sin(x)+5cos(x)=2y^2-8y+21

Answer 1

Обозначим эти две функции а и b
a(x) = 12sin x + 5cos x; b(y) = 2y^2 - 8y + 21
1) В функции а sin x ∈ [-1; 0]; cos x ∈ [-1; 1], причем sin^2 x + cos^2 x = 1
Максимум функции a'(x) = 12cos x - 5sin x = 0; tg x = 12/5; x0 ~ 1,176 рад.
1/cos^2 x = 1+tg^2 x = 1 + 144/25 = 169/25; cos x = 5/13; sin x = 12/13.
a(x0) = 12*12/13 + 5*5/13 = 144/13 + 25/13 = 169/13 = 13

2) В функции b минимум параболы находится в вершине
y0 = -b/(2a) = -(-8)/(2*2) = 8/4 = 2
b(2) = 2*2^2 - 8*2 + 21 = 8 - 16 + 21 = 13

3) Максимум левой функции равен минимуму правой функции, значит, они равны только в одной этой точке.
Ответ: x = arctg(12/5); y = 2

Answer 2

Чтобы решить данное уравнение, мы можем воспользоваться несколькими свойствами тригонометрии и методом завершения квадратного трехчлена для переменной "y".

Уравнение: 12sin(x) + 5cos(x) = 2y^2 - 8y + 21

Сначала рассмотрим левую часть уравнения. Обратимся к формуле для синуса двойного угла: sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Применим эту формулу, чтобы переписать левую часть уравнения: 12sin(x) + 5cos(x) = 2(6sin(x)cos(x)) + 5cos(x) = 2sin(2x) + 5cos(x)

Теперь уравнение принимает вид: 2sin(2x) + 5cos(x) = 2y^2 - 8y + 21

Заменим sin(2x) на новую переменную t: t = sin(2x)

Уравнение примет вид: 2t + 5cos(x) = 2y^2 - 8y + 21

Теперь рассмотрим правую часть уравнения. Мы хотим привести ее к виду квадратного трехчлена для переменной "y". Заметим, что коэффициент при y^2 уже равен 2, поэтому мы можем записать это уравнение в следующем виде:

2y^2 - 8y + 21 = 2(y^2 - 4y) + 21 = 2(y^2 - 4y + 4) + 21 - 2(4) = 2(y - 2)^2 + 13

Подставим это обратно в уравнение: 2t + 5cos(x) = 2(y - 2)^2 + 13

Теперь у нас есть два уравнения: 2t + 5cos(x) = 2(y - 2)^2 + 13 ...(1) 2t = sin(2x) ...(2)

Теперь мы можем решить эти уравнения отдельно.

Из уравнения (2) получаем: t = sin(2x) / 2

Подставим это обратно в уравнение (1): sin(2x) + 5cos(x) = (y - 2)^2 + 6.5

На этом этапе мы получили уравнение, содержащее только переменные x и y. Однако, чтобы решить его аналитически, требуется дополнительная информация или условия. Если у вас есть дополнительные условия или ограничения, пожалуйста, укажите их, и я смогу помочь вам дальше.