Question

докажите справедливость формулы методом математической индукции Sn=(a1+an)×n/2 (формула суммы первых n членов арифметической прогрессии)

Answer 1

Решение смотри на фото

Answer 2

Для доказательства формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии методом математической индукции, необходимо выполнить два шага: базисное доказательство и индукционный переход.

Шаг 1: Базисное доказательство В базовом случае, когда n = 1, формула принимает следующий вид:

S1 = (a1 + a1) × 1/2 = 2a1 × 1/2 = a1

Таким образом, базовый случай верен.

Шаг 2: Индукционный переход Предположим, что формула верна для некоторого k, то есть:

Sk = (a1 + ak) × k/2

Необходимо доказать, что формула также верна для k + 1, то есть:

Sk+1 = (a1 + a(k+1)) × (k + 1)/2

Для этого рассмотрим сумму первых k + 1 членов арифметической прогрессии:

Sk+1 = a1 + a2 + a3 + ... + ak + a(k+1)

Мы можем разделить эту сумму на две части: первые k членов (S_k) и последний член a(k+1):

Sk+1 = (a1 + a2 + a3 + ... + ak) + a(k+1) = Sk + a(k+1)

Используя предположение индукции, можем заменить Sk на (a1 + ak) × k/2:

Sk+1 = (a1 + ak) × k/2 + a(k+1) = (ak + a1) × k/2 + 2a(k+1)/2 = ak × k/2 + a1 × k/2 + 2a(k+1)/2 = (ak × k + a1 × k + 2a(k+1))/2 = (k(ak + a1) + 2a(k+1))/2 = (kak + ka1 + 2a(k+1))/2

Мы заметим, что второе слагаемое в скобках равно ka1 + 2a(k+1). Заметим, что 2a(k+1) = a1 + a(k+1). Таким образом, получаем:

Sk+1 = (kak + ka1 + 2a(k+1))/2 = (kak + ka1 + a1 + a(k+1))/2 = (kak + a1(k+1) + a(k+1))/2 = ((ka1 + a1(k+1))/2 + a(k+1))/2 = (a1(k + 1) + a(k+1))/2 = (a1 + a(k+1)) × (k + 1)/2

Таким образом, формула верна и для k + 1.

Поскольку формула