Question

Как доказать, что 25²⁵ - 25⁴ делится на 12?

Answer 1

Ответ:

25

${25}^{25} - \frac{25{}^{25} }{12}$

Answer 2

Чтобы доказать, что число 25²⁵ - 25⁴ (25 в степени 25 минус 25 в степени 4) делится на 12, мы можем воспользоваться свойствами деления и разложением чисел.

Обозначим данное число как A = 25²⁵ - 25⁴.

Заметим, что 25 возводится в любую нечетную степень, например, 25³, дающую 15625, и возводится в четную степень, например, 25², дающую 625. То есть, 25 в любой нечетной степени имеет остаток 1 при делении на 4, а в любой четной степени имеет остаток 0 при делении на 4.

Теперь разложим число A на два слагаемых:

A = 25²⁵ - 25⁴ = 25⁴ × (25²¹ - 1)

Разделим оба слагаемых на 25⁴:

A = 25⁴ × (25²¹ - 1) = 625 × (25²¹ - 1)

Теперь рассмотрим выражение в скобках 25²¹ - 1. Заметим, что это разность квадратов, а именно:

25²¹ - 1 = (25¹¹ + 1) × (25¹¹ - 1)

Теперь разделим оба множителя на 2:

25¹¹ + 1 = (25¹¹ - 1) + 2

Заметим, что 25¹¹ - 1 является четным числом, так как 25 в любой нечетной степени имеет остаток 1 при делении на 4, поэтому (25¹¹ - 1) + 2 является четным числом.

Теперь вернемся к выражению для A:

A = 625 × (25²¹ - 1) = 625 × (25¹¹ + 1) × (25¹¹ - 1)

Получается, что A представляется в виде произведения трех чисел: 625 (которое делится на 12), (25¹¹ + 1) (число, являющееся четным), и (25¹¹ - 1) (число, также являющееся четным).

Таким образом, каждый из множителей в разложении числа A делится на 12, что означает, что само число A также делится на 12.