Question

Найдите все целые n, при которых значение дроби (2n^2−7n+12)/n−2 в которых n является целым числом. В ответе укажите количество таких n.

Answer 1

$\displaystyle \frac{2n^2-7n+12}{n-2} =\bigg(2n-3\bigg)+ \frac{6}{n-2}$

Так как  $\bigg(2n-3\bigg)$ - целое, то  данный дробь будет целым, если второе слагаемое дроби будет целым, то есть, дробь не должен превышать 6.

Таких целых n несколько: -4; -1; 0; 1; 3; 4; 5; 8 - количество: 8

Answer 2

Чтобы найти все целые значения n, для которых данная дробь является целым числом, мы можем использовать простой подход.

У нас есть дробь (2n^2 - 7n + 12) / (n - 2), которую мы хотим сделать целым числом.

Для начала, давайте разложим числитель на множители: 2n^2 - 7n + 12 = (n - 2)(2n - 3)

Теперь у нас есть (n - 2)(2n - 3) / (n - 2). Мы можем сократить (n - 2) в числителе и знаменателе, и получим: 2n - 3

Таким образом, чтобы дробь была целым числом, (2n - 3) должно делиться на (n - 2) без остатка.

У нас есть два случая для рассмотрения:

1. Если (n - 2) = 0, то n = 2. Однако, в этом случае дробь становится неопределенной (деление на ноль), поэтому исключаем n = 2 из рассмотрения.

2. Если (2n - 3) делится на (n - 2) без остатка, то мы можем записать это как (2n - 3) = k(n - 2), где k - целое число.

Раскрывая скобки, получим: 2n - 3 = kn - 2k

Теперь сгруппируем переменные n: (2 - k)n = 2k - 3

Мы хотим, чтобы (2 - k) делилось на (2k - 3) без остатка, поэтому (2k - 3) должно быть делителем (2 - k).

Теперь давайте рассмотрим все возможные делители числа (2 - k) и найдем соответствующие значения k и n.

Возможные значения (2 - k): (2 - k) = 1 -> k = 1 -> n = 1 (2 - k) = -1 -> k = 3 -> n = 5 (2 - k) = 2 -> k = 0.5 (не является целым числом, исключаем) (2 - k) = -2 -> k = 4 -> n = 7

Таким образом, получаем следующие значения n, для которых дробь (2n^2 - 7n + 12) / (n - 2) является целым числом: n = 1, n = 5, n = 7.

Ответ: Количество таких n равно 3.