Question

Вычислить интеграл. помогите пожалуйста решить. (х+1)^15 dx

Answer 1

Решение
(x+ 1)^16 / 16 + C

Answer 2

Для вычисления данного интеграла можно использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид:

∫ u dv = u v - ∫ v du,

где u и v - функции переменной x, а du и dv - их дифференциалы.

Применим этот метод к вашему интегралу ∫ (x + 1)^15 dx.

Пусть u = (x + 1)^15, тогда du = 15(x + 1)^14 dx, а dv = dx, тогда v = x.

Используя формулу интегрирования по частям, получим:

∫ (x + 1)^15 dx = (x + 1)^15 * x - ∫ x * 15(x + 1)^14 dx.

Теперь нужно проинтегрировать второй член. Разложим его на множители:

∫ x * 15(x + 1)^14 dx = 15 ∫ x(x + 1)^14 dx.

Мы можем применить метод интегрирования по частям снова, выбрав:

u = x, du = dx, dv = (x + 1)^14 dx, v = (x + 1)^15 / 15.

Применяем формулу интегрирования по частям:

15 ∫ x(x + 1)^14 dx = 15 * (x + 1)^15 / 15 - 15/15 ∫ (x + 1)^15 dx.

Упрощаем:

15 ∫ x(x + 1)^14 dx = (x + 1)^15 - ∫ (x + 1)^15 dx.

Теперь у нас остался только интеграл ∫ (x + 1)^15 dx. Мы можем заметить, что это исходный интеграл, который мы пытаемся вычислить. Поэтому можно записать:

∫ (x + 1)^15 dx = (x + 1)^15 - ∫ (x + 1)^15 dx.

Теперь переместим интеграл на левую сторону:

2∫ (x + 1)^15 dx = (x + 1)^15.

И окончательно выразим искомый интеграл:

∫ (x + 1)^15 dx = (1/2) * (x + 1)^15 + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, интеграл ∫ (x + 1)^15 dx равен (1/2) * (x + 1)^15 + C.