Question

Знайти диференціал функції y=arctg x/x+1

Answer 1

////////////////////////////////////////////////////////////////

Answer 2

Щоб знайти диференціал функції $y = \frac{\arctan x}{x+1}$, використаємо правило диференціювання часткового ділення. Позначимо $u = \arctan x$ та $v = x+1$. Тоді $y = \frac{u}{v}$.

Застосуємо формулу диференціювання частки двох функцій: $\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{vu' - uv'}}{{v^2}}$,

де $u'$ та $v'$ - похідні $u$ та $v$ відносно $x$.

Знайдемо $u'$ та $v'$:

$u' = \frac{{d}}{{dx}}(\arctan x)$.

Для обчислення цього похідного використаємо правило ланцюгового диференціювання: $\frac{{d}}{{dx}}(\arctan x) = \frac{{d}}{{du}}(\arctan u) \cdot \frac{{du}}{{dx}}$.

Похідна $\frac{{d}}{{du}}(\arctan u)$ відома: $\frac{{d}}{{du}}(\arctan u) = \frac{{1}}{{1+u^2}}$.

Також, $\frac{{du}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}}(x) = 1$.

Отже, $u' = \frac{{1}}{{1+u^2}} \cdot 1 = \frac{{1}}{{1+x^2}}$.

Знайдемо $v'$: $v' = \frac{{d}}{{dx}}(x+1) = \frac{{d}}{{dx}}(x) + \frac{{d}}{{dx}}(1) = 1 + 0 = 1$.

Підставимо отримані значення $u'$ та $v'$ в формулу диференціювання частки:

$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{vu' - uv'}}{{v^2}} = \frac{{(x+1) \cdot \frac{{1}}{{1+x^2}} - \arctan x \cdot 1}}{{(x+1)^2}} = \frac{{\frac{{x+1}}{{1+x^2}} - \arctan x}}{{(x+1)^2}}$.

Отже, диференціал функції $y = \frac{{\arctan x}}{{x+1}}$ дорівнює $\frac{{\frac{{x+1}}{{1+x^2}} - \arctan x}}{{(x+1)^2}}$