Question

Докажите тождество a^3+b^3+3ab(a+b)=(a+b)^3

Answer 1

(a+b)^3=a^3+3a^2×b+3ab^2+b^3
a^3+b^3+3ab(a+b)= a^3+b^3+3a^2×b+3ab^2
Вот и доказательство (от перестановки слагаемых сумма не меняется)

Answer 2

Чтобы доказать данное тождество, мы можем использовать алгебруические преобразования. Давайте начнем:

Выражение слева: a^3 + b^3 + 3ab(a + b)

Мы можем использовать формулу суммы кубов для раскрытия первых двух слагаемых: (a + b)(a^2 - ab + b^2) + 3ab(a + b)

Теперь мы можем раскрыть скобки в первом слагаемом: (a^3 - a^2b + ab^2) + (ab^2 - abb + b^3) + 3ab(a + b)

Обратите внимание, что (ab^2 - abb) может быть упрощено: (a^3 - a^2b + ab^2) + (ab^2 - ab^2 + b^3) + 3ab(a + b)

Теперь мы можем упростить выражение: a^3 - a^2b + ab^2 + b^3 + 3ab(a + b)

Мы видим, что первые три слагаемых в скобках образуют куб суммы (a + b)^3: (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) + 3ab(a + b)

Теперь мы можем упростить последнее слагаемое: (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) + 3a^2b + 3ab^2

Мы видим, что 3a^2b и 3ab^2 сокращаются: a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2

Теперь мы можем сгруппировать слагаемые: (a^3 + b^3) + 3a^2b + 3ab^2

Обратите внимание, что (a^3 + b^3) может быть заменено на (a + b)^3: (a + b)^3 + 3a^2b + 3ab^2

Мы видим, что оставшиеся два слагаемых равны 3ab(a + b): (a + b)^3 + 3ab(a + b)

Теперь мы можем факторизовать выражение: (a + b)((a + b)^2 + 3ab)

Итак, мы доказали, что: a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = (a + b)((a + b)^2 + 3ab)

Это доказывает тождество.