Question

Воспользовавшись равенствами, найдите f(x) f(x+1)=x²-1

Answer 1

$f(x+1)=x^2-1\\\\t=x+1\; \; \to \; \; x=t-1\\\\f(t)=(t-1)^2-1=t^2-2t\; \; \Rightarrow \; \; \boxed {f(x)=x^2-2x}$

Замечание:  от обозначения переменной не зависит запись функции.Можно,например, записать заданную функцию так:  $f(z)=z^2-2z$ , где переменная обозначена буквой z.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся равенством:

f(x + 1) = f(x) + f'(x) + f''(x)/2! + f'''(x)/3! + ...

Подставим данное равенство в уравнение f(x + 1) = x² - 1:

f(x) + f'(x) + f''(x)/2! + f'''(x)/3! + ... = x² - 1

Поскольку нам дано только одно уравнение, мы не можем определить точную формулу для функции f(x). Однако мы можем найти ее рекурсивное определение, используя данное уравнение.

Исходя из равенства, мы можем записать:

f(x) = f(x - 1) + f'(x - 1) + f''(x - 1)/2! + f'''(x - 1)/3! + ...

Теперь мы можем сформулировать рекурсивное определение для f(x):

f(x) = (x - 1)² - 1 - f'(x - 1) - f''(x - 1)/2! - f'''(x - 1)/3! - ...

Таким образом, мы получаем рекурсивное определение для функции f(x), но без точной формулы, поскольку оно требует бесконечного числа слагаемых.