Question

[Помогите ребята подарю монеты]Помогите решить Модули Неравенст 1. |x|+|x-2|<(либо равно) 2 2. |7-3x|<9 3. |x^2-4x+4|>(либо равно) 1

Answer 1

1.
IxI+Ix-2I≤2
Раскрываем модули, получаем систему уравнений:
-x-x+2≤2   -2x≤0   I÷(-2)   x≥0  ⇒   x=0 
x-x+2<0   2<0   x∉
x+x-2≤2   2x≤4   x≤2  ⇒    x=2.
2.
I7-3xI<9 
Раскрываем модуль, получаем систему неравенств:
7-3x<9       3x>-2    x>-2/3
-7+3x<9     3x<16   x<16/3   ⇒
x∈(-2/3;16/3),
3.
Ix²-4x+4I≥1
I(x-2)²I≥1
(x-2)²≥1
x²-4x+4≥1
x²-4x+3≥0   D=4
(x-3)(x-1)≥0
-∞_____+______1______-______3______+______+∞
x∈(-∞;1]U[3;+∞).

Answer 2

Давайте решим эти модульные неравенства по очереди:

1. |x| + |x - 2| ≤ 2:

Для начала, рассмотрим различные случаи значений x:

а) Если x ≥ 2, то |x| = x, и |x - 2| = x - 2. Тогда неравенство примет вид: x + (x - 2) ≤ 2 2x - 2 ≤ 2 2x ≤ 4 x ≤ 2

б) Если -2 ≤ x < 2, то |x| = x, и |x - 2| = -(x - 2) = 2 - x. Тогда неравенство будет иметь вид: x + (2 - x) ≤ 2 2 ≤ 2 Данное неравенство выполняется для всех значений x в данном интервале.

в) Если x < -2, то |x| = -x, и |x - 2| = -(x - 2) = 2 - x. Тогда неравенство примет вид: -x + (2 - x) ≤ 2 2 - 2x ≤ 2 -2x ≤ 0 x ≥ 0

Итак, решением данного неравенства является интервал (-∞, -2] ∪ [0, 2].

2. |7 - 3x| < 9:

Разберем различные случаи:

а) Если 7 - 3x ≥ 0, то |7 - 3x| = 7 - 3x. Тогда неравенство будет иметь вид: 7 - 3x < 9 -3x < 2 x > -2/3

б) Если 7 - 3x < 0, то |7 - 3x| = -(7 - 3x) = 3x - 7. Тогда неравенство примет вид: 3x - 7 < 9 3x < 16 x < 16/3

Таким образом, решением данного неравенства является интервал (-∞, -2/3) ∪ (-∞, 16/3).

3. |x^2 - 4x + 4| > 1:

Разберем различные случаи:

а) Если x^2 - 4x + 4 ≥ 0, то |x^2 - 4x + 4| = x^2 - 4x + 4. Тогда неравенство будет иметь вид: x^2 - 4x + 4 > 1 x^2 - 4x + 3 > 0 (x - 1)(x - 3) > 0

Решением данного неравенства будет интервал (1, 3).

б) Если x^2 - 4x + 4 < 0, то |x^2 - 4x + 4| = -(x^2 - 4x + 4) = -x^2 + 4x - 4. Тогда н