Question

100^{2} - 99^{2} + 98^{2} - 97^{2} + ... + 2^{2} - 1^{2} Пожалуйста, объясните, как это решить!

Answer 1

Один из возможных способов

разложив несколько множителей на разность квадратов, мы будем получать:

(100-99)*(100+99)= 1*199

(98-97)(98+97)= 1*195

.....

(2-1)(2+1)= 1*3

из двух членов мы получаем 1

получаем убывающую арифметическую прогрессию с разностью 4

из 100 членов получаем 50.

d=4,   n=50

находим сумму прогрессии:

S50= (2*3+4*49)*50/2= (6+196)*25= 202*25= 5050

100^{2} - 99^{2} + 98^{2} - 97^{2} + ... + 2^{2} - 1^{2}= 5050

Answer 2

Данная сумма представляет собой алгебраическую сумму квадратов чисел, начиная с 100 и уменьшая значение на 1 с каждым шагом, до 1.

Мы можем переписать данную сумму следующим образом:

(100^2 - 99^2) + (98^2 - 97^2) + ... + (2^2 - 1^2)

Обратимся к формуле разности квадратов: a^2 - b^2 = (a + b)(a - b).

Применяя эту формулу к каждой паре чисел, получаем:

(100 + 99)(100 - 99) + (98 + 97)(98 - 97) + ... + (2 + 1)(2 - 1)

Теперь можно заметить, что в каждой скобке первое число является суммой двух последовательных чисел, а второе число равно разности этих чисел.

Мы можем упростить каждое слагаемое:

199 + 195 + 191 + ... + 3

Теперь мы можем заметить, что все слагаемые являются арифметической прогрессией с разностью -4. Мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии:

S = (n/2)(a + l),

где S - сумма прогрессии, n - количество слагаемых, a - первое слагаемое, l - последнее слагаемое.

Применяя формулу, получаем:

S = (n/2)(a + l) = (n/2)(a + (a + (n-1)d)),

где d - разность прогрессии.

В нашем случае, n равно количеству слагаемых, которое можно найти, разделив разность 199 и 3 на -4 и добавив 1:

n = (3 - 199) / -4 + 1 = 50.

a равно первому слагаемому, которое равно 199.

l равно последнему слагаемому, которое равно 3.

d равно разности прогрессии, которая равна -4.

Теперь мы можем вычислить сумму:

S = (n/2)(a + l) = (50/2)(199 + 3) = 25 * 202 = 5050.

Таким образом, сумма данного ряда равна 5050.