Question

В прямоугольном треугольнике АВС угол С равен 90°, угол А равен 15°, СD -биссектриса. СВ = y, DA=x, СА = √3.

Answer 1

Если CD -биссектриса, то ∠BCD=∠DCA=∠C/2=90°/2=45°

∠CDA=180°-(∠ACD+∠DAC)=180°-(45°+15°)=120°

∠BDC=180°-∠CDA=180°-120°=60° 

Найдем х по теореме синусов:

$\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC}$

в треугольнике АСD:

$\frac{AC}{sin120} = \frac{x}{sin45} \\ \\ \frac{ \sqrt{3} }{ \frac{ \sqrt{3} }{2} }= \frac{x}{ \frac{ \sqrt{2} }{2} } \\ \\ 1= \frac{x}{ \sqrt{2} } \\ \\ x= \sqrt{2}$

Пусть BD=a, тогда теорема синуса для ΔBCD:
$\frac{a}{sin45}= \frac{y}{sin60}$

с другой стороны ΔАВС - прямоугольный, значит для него выполняется теорема Пифагора:

$ab^2=BC^2+AC^2 \\ (a+x )^2 \sqrtno numeric noise key 1098$

учитывая, что х=√2

$(a+ \sqrt{2} )^2=y^2+3$

получается система из 2 уравнений:

$\left \{ {{ \frac{a}{sin45}= \frac{y}{sin60}} \atop {(a+ \sqrt{2} )^2=y^2+3}} \right.$

из первого выражаем а и подставляем во второе:

$\frac{a}{sin45}= \frac{y}{sin60} \\ \\ \frac{a}{ \sqrt{2} /2}= \frac{y}{ \sqrt{3}/2 } \\ \\ \frac{a}{ \sqrt{2} }= \frac{y}{ \sqrt{3} } \\ \\ a= \frac{y \sqrt{2} }{ \sqrt{3} }$


$(a+ \sqrt{2} )^2=y^2+3 \\ \\ a^2+2 \sqrt{2}a +2=y^2+3 \ \ =\ \textgreater \ \ a= \frac{y \sqrt{2} }{ \sqrt{3} } \\ \\ \frac{2y^2}{3}+ 2 \sqrt{2}* \frac{y \sqrt{2} }{ \sqrt{3} }+2=y^2+3 \ \ |*3 \\ \\ 2y^2+4 \sqrt{3} y+6=3y^2+9 \\ \\ 3y^2-2y^2-4 \sqrt{3} y-6+9=0 \\ \\ y^2-4 \sqrt{3} +3=0 \\ \\ D=16*3-4*3=36=6^2 \\ \\ y= \frac{4 \sqrt{3}+6 }{2} =2 \sqrt{3} +3 \\ \\ OTBET: \ x= \sqrt{2} ; \ \ y=2 \sqrt{3} +3$