Question

4sin^2x-2sinxcosx=3 помогите, пожалуйста

Answer 1

Ответ:

$-\frac{\pi }{4} +\pi k, ~k\in\mathbb {Z}$;  $arctg 3+\pi n, ~n\in\mathbb {Z}$

Объяснение:

$4sin^{2} x - 2sinxcosx =3;\\4sin^{2} x - 2sinxcosx =3(sin^{2} x+cos^{2} x);\\4sin^{2} x - 2sinxcosx -3 sin^{2} x- 3cos^{2} x=0; \\sin^{2} x -2sinxcosx -3cos ^{2} x=0.$

Данное уравнение является однородным второй степени , разделим обе части данного уравнения на $cos^{2} x\neq 0$ .

$cos^{2} x\neq 0$ так если $cos^{2} x=0$ , то тогда и$sin^{2} x=0$ , а это невозможно, так как нарушается основное тригонометрическое тождество

$sin^{2} x+cos^{2} x=1.$

$\sin^{2} x -2sinxcosx -3cos ^{2} x=0|: cos^{2} x\neq 0;\\\\\frac{sin^{2}x }{cos^{2}x} - \frac{2sinxcosx}{cos^{2}x } -\frac{3cos^{2} x}{cos^{2}x } =0;\\\\tg^{2} x-2tgx-3=0.$

Пусть $tgx=t$, тогда уравнение принимает вид:

$t^{2} -2t-3=0;\\D{_1} = 1+3=4=2^{2} ;\\ \left [\begin{array}{l} t = -1, \\ t = 3.\end{array} \right.$

Тогда получим

$1) tgx= -1 ;\\x=-\frac{\pi }{4} +\pi k,~k\in\mathbb {Z}$

$2) tgx=3;\\x=arctg 3+\pi n, ~n\in\mathbb {Z}$