Question

Груз, прикреплѐнный к вертикальной невесомой пружине, совершает гармонические колебания с амплитудой А=0,10 м и периодом Т=1,0 с. Если максимальная кинетическая энергия груза (Wк)max=10 мДж, то его масса m равна:

Answer 1

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для кинетической энергии гармонического осциллятора. Кинетическая энергия гармонического осциллятора выражается как K = (1/2) * m * v^2, где m - масса груза и v - его скорость.

Мы знаем, что максимальная кинетическая энергия (Wк)max равна 10 мДж, а амплитуда (А) равна 0,10 м и период (Т) равен 1,0 с.

Нахождение скорости груза

Для начала, найдем скорость груза в момент максимальной кинетической энергии. В максимальной точке колебаний, величина скорости максимальна. Поскольку в этой точке потенциальная энергия груза минимальна (равна нулю), вся механическая энергия превращается в кинетическую энергию.

Мы можем использовать формулу для периода колебаний T = 2π * √(m/k), где k - жесткость пружины. Из этой формулы мы можем выразить k: k = (2π/T)^2 * m.

Нахождение массы груза

Мы также знаем, что амплитуда A связана с максимальной силой, действующей на груз, и жесткостью пружины: F = k * A. Мы можем использовать это соотношение, чтобы найти k.

Теперь у нас есть два уравнения, которые связывают массу груза и жесткость пружины: k = (2π/T)^2 * m и F = k * A.

Мы также знаем, что максимальная кинетическая энергия (Wк)max равна 10 мДж, и она связана с максимальной скоростью груза: (Wк)max = (1/2) * m * v^2.

Мы можем использовать все эти уравнения, чтобы найти массу груза m. Подставим известные значения в уравнения и решим их.

* Решение: Используем уравнение для периода колебаний T = 2π * √(m/k): 1,0 с = 2π * √(m/((2π/1,0 с)^2 * m)) 1,0 с = 2π * √(m/(4π^2 * m)) 1,0 с = 2π * √(1/(4π^2)) 1,0 с = 2π * (1/(2π)) 1,0 с = 1,0 с

У нас получилось правда равенство, значит, изначально предположенные значения массы и жесткости пружины верны.

Используем уравнение для максимальной кинетической энергии (Wк)max = (1/2) * m * v^2: 10 мДж = (1/2) * m * v^2

Теперь мы знаем, что максимальная кинетическая энергия равна 10 мДж и амплитуда равна 0,10 м. Мы хотим найти массу груза m.

Решение уравнения

10 мДж = (1/2) * m * v^2 10 мДж = (1/2) * m * (2π * A/T)^2 10 мДж = (1/2) * m * (2π * 0,10 м / 1,0 с)^2 10 мДж = (1/2) * m * (2π * 0,10 м / 1,0 с)^2 10 мДж = (1/2) * m * (2π * 0,10 м / 1 с)^2 10 мДж = (1/2) * m * (2π * 0,10 м)^2 10 мДж = (1/2) * m * (2π * 0,10 м)^2 10 мДж = (1/2) * m * (0,20π м)^2 10 мДж = 0,02π^2 м * m 500 = π^2 м * m 500 / π^2 = м * m 158,99 м = м * м m = √158,99 м m ≈ 12,61 кг

Итак, масса груза (m) при данных условиях колебаний равна примерно 12,61 кг.