Question

Космическая ракета удаляется от Земли.На каком расстоянии от земной поверхности ускорение свободного падения ракеты уменьшится в 0,25 раза по сравнению с ускорением свободного падения на земной поверхности?Радиус Земли принять равным 6400 км

Answer 1

Ускорение свободного падения на земной поверхности обозначим как g1, а расстояние от земной поверхности, на котором ускорение свободного падения ракеты уменьшится в 0,25 раза - как h.

По определению, ускорение свободного падения на земной поверхности равно g1 = G*M/R^2, где G - гравитационная постоянная (6,67430 × 10^-11 м^3⋅кг^−1⋅с^−2), M - масса Земли (примерно 5,972 × 10^24 кг) и R - радиус Земли (6400 км = 6,4 × 10^6 м).

Мы хотим найти такое h, что ускорение свободного падения на нем будет составлять 0,25*g1.

Используя закон всемирного тяготения, ускорение свободного падения на расстоянии h от земной поверхности может быть записано как g2 = G*M/(R+h)^2.

Условие задачи гласит, что g2 = 0,25*g1.

Итак, у нас есть уравнение:

G*M/(R+h)^2 = 0,25*G*M/R^2.

Мы можем сократить G*M по обе стороны и упростить это уравнение:

1/(R+h)^2 = 0,25/R^2.

Переведем в общий знаменатель:

R^2 = 0,25*(R+h)^2.

Раскроем скобки:

R^2 = 0,25*(R^2 + 2Rh +h^2).

Упростим:

R^2 = 0,25*R^2 + 0,5*Rh + 0,25*h^2.

Вычтем 0,25*R^2 из обеих частей:

0,75*R^2 = 0,5*R*h + 0,25*h^2.

Перегруппируем члены:

0,5*R*h + 0,25*h^2 = 0,75*R^2.

Умножим обе части на 4:

2*R*h + h^2 = 3*R^2.

Полученное уравнение имеет квадратичную форму. Решим его:

h^2 + 2*R*h - 3*R^2 = 0.

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4*a*c = (2*R)^2 - 4*(-3*R^2) = 4*R^2 + 12*R^2 = 16*R^2.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня:

h1,2 = (-2*R ± √D)/(2*a) = (-2*R ± 4*R)/(2) = R*(-1 ± 2).

Таким образом, получаем два возможных значения для h:

h1 = -3*R; h2 = R.

Так как расстояние не может быть отрицательным, мы выбираем положительное значение h:

h = R = 6,4 × 10^6 м.

Таким образом, ракета будет находиться на расстоянии 6,4 × 10^6 м от земной поверхности, чтобы ускорение свободного падения уменьшилось в 0,25 раза по сравнению с ускорением свободного падения на земной поверхности.