Question

Шарик,подвешенный на невесомой нерастяжимой нити длиной l=1.6 м,выводят из положения равновесия и отпускают.Определите модуль максимальной скорости движения шарика,если: а)высота,на которую отклонили шарик,h=45 см; б) угол отклонения нити от вертикали а=60°.

Answer 1

Для решения данной задачи, мы можем использовать законы сохранения энергии и момента импульса.

а) Высота, на которую отклонили шарик, h = 45 см:

1. Используя закон сохранения энергии, можем определить, что потенциальная энергия в начальной точке (равновесия) будет равна кинетической энергии в точке максимального отклонения.

Потенциальная энергия в начальной точке (равновесия): Ep_нач = m * g * h_нач, где m - масса шарика, g - ускорение свободного падения, h_нач - высота начальной точки (равновесия).

Кинетическая энергия в точке максимального отклонения: Ek_макс = 0.5 * m * v_макс^2, где v_макс - максимальная скорость движения шарика.

Потенциальная энергия в точке максимального отклонения: Ep_макс = m * g * h_макс, где h_макс - высота точки максимального отклонения.

Из закона сохранения энергии следует, что Ep_нач = Ek_макс + Ep_макс.

2. Подставим известные значения и решим уравнение:

m * g * h_нач = 0.5 * m * v_макс^2 + m * g * h_макс.

Поскольку нить нерастяжима, то h_нач + h_макс = l, где l - длина нити.

Подставим это в уравнение: m * g * h_нач = 0.5 * m * v_макс^2 + m * g * (l - h_нач).

Раскроем скобки и упростим выражение: m * g * h_нач = 0.5 * m * v_макс^2 + m * g * l - m * g * h_нач.

Упростим еще больше: m * g * h_нач + m * g * h_нач = 0.5 * m * v_макс^2 + m * g * l.

m * g * 2 * h_нач = 0.5 * m * v_макс^2 + m * g * l.

m * g * 2 * h_нач - m * g * l = 0.5 * m * v_макс^2.

m * g * (2 * h_нач - l) = 0.5 * m * v_макс^2.

Упростим выражение, деля обе части на m и g: 2 * h_нач - l = 0.5 * v_макс^2.

Теперь выразим v_макс: v_макс = sqrt(2 * (h_нач - l)).

Подставим известные значения и рассчитаем: v_макс = sqrt(2 * (0.45 - 1.6)). v_макс = sqrt(2 * (-1.15)). v_макс ≈ sqrt(-2.3). ОТВЕТ: Модуль максимальной скорости движения шарика, если высота, на которую отклонили шарик, h = 45 см, равен примерно sqrt(-2.3) м/с.

б) Угол отклонения нити от вертикали, a = 60°:

1. Используя закон сохранения момента импульса, можем определить, что момент импульса в начальной точке (равновесия) будет равен моменту импульса в точке максимального отклонения.

Момент импульса в начальной точке (равновесия): L_нач = m * v_нач * l, где v_нач - скорость шарика в начальной точке (равновесия).

Момент импульса в точке максимального отклонения: L_макс = m * v_макс * r, где v_макс - скорость шарика в точке максимального отклонения, r - радиус кривизны траектории движения шарика.

Из закона сохранения момента импульса следует, что L_нач = L_макс.

2. Подставим известные значения и решим уравнение:

m * v_нач * l = m * v_макс * r.

Поскольку угол отклонения нити от вертикали равен a = 60°, то r = l * sin(a).

Подставим это в уравнение: m * v_нач * l = m * v_макс * (l * sin(a)).

Упростим выражение, деля обе части на m * l: v_нач = v_макс * sin(a).

Теперь выразим v_макс: v_макс = v_нач / sin(a).

Подставим известные значения и рассчитаем: v_макс = v_нач / sin(60°). v_макс = v_нач / sqrt(3)/2. ОТВЕТ: Модуль максимальной скорости движения шарика, если угол отклонения нити от вертикали a = 60°, равен v_нач / (sqrt(3)/2) м/с.