Question

Вагон массой 20 т, движущийся со скоростью 18 км/ч, ударяет стоящий вагон массой 30 т и сцепляется с ним. Найдите скорость вагонов после соударения. Трения нет.

Answer 1

Для решения данной задачи мы можем использовать законы сохранения импульса и сохранения энергии. В данном случае нет трения, поэтому закон сохранения энергии будет наиболее удобным способом решения.

Импульс (p) определяется как произведение массы (m) на скорость (v): \(p = m \cdot v\).

Закон сохранения импульса гласит, что сумма импульсов замкнутой системы остается постоянной, если на систему не действуют внешние силы. В данном случае у нас есть система из двух вагонов.

Энергия (E) определяется как \(E = \frac{1}{2}mv^2\), где m - масса, v - скорость.

Закон сохранения энергии гласит, что сумма кинетических энергий замкнутой системы остается постоянной, если на систему не действуют внешние силы.

До столкновения вагоны двигаются с различными скоростями. После столкновения они двигаются как одно целое.

Обозначим массу первого вагона \(m_1 = 20\) т, его скорость до столкновения \(v_1 = 18\) км/ч, массу второго вагона \(m_2 = 30\) т, и его скорость до столкновения \(v_2 = 0\) (второй вагон стоит).

Переведем скорости в м/с, так как 1 км/ч = 0,277 м/с.

\[v_1 = 18 \, \text{км/ч} \times 0,277 \, \text{м/с} = 5 \, \text{м/с}\]

\[v_2 = 0 \, \text{м/с}\]

До столкновения импульс первого вагона \(p_1 = m_1 \cdot v_1\) и импульс второго вагона \(p_2 = m_2 \cdot v_2\) равны:

\[p_1 = 20 \, \text{т} \times 5 \, \text{м/с} = 100 \, \text{т} \cdot \text{м/с}\]

\[p_2 = 30 \, \text{т} \times 0 \, \text{м/с} = 0 \, \text{т} \cdot \text{м/с}\]

Суммарный импульс до столкновения:

\[p_{\text{до}} = p_1 + p_2 = 100 \, \text{т} \cdot \text{м/с} + 0 \, \text{т} \cdot \text{м/с} = 100 \, \text{т} \cdot \text{м/с}\]

После столкновения вагоны сцепляются и двигаются как одно целое. Обозначим их массу после столкновения \(M\) и скорость после столкновения \(V\).

Суммарный импульс после столкновения равен:

\[p_{\text{после}} = M \cdot V\]

Согласно закону сохранения импульса \(p_{\text{до}} = p_{\text{после}}\), поэтому:

\[M \cdot V = 100 \, \text{т} \cdot \text{м/с}\]

Теперь воспользуемся законом сохранения энергии. Сумма кинетических энергий до столкновения равна сумме кинетических энергий после столкновения:

\[\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}M V^2\]

Подставим значения:

\[\frac{1}{2} \times 20 \, \text{т} \times (5 \, \text{м/с})^2 + \frac{1}{2} \times 30 \, \text{т} \times (0 \, \text{м/с})^2 = \frac{1}{2} \times M \times V^2\]

\[250 \, \text{т} \cdot \text{м}^2/\text{с}^2 = \frac{1}{2} \times M \times V^2\]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от деления на 2:

\[500 \, \text{т} \cdot \text{м}^2/\text{с}^2 = M \cdot V^2\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[M \cdot V = 100 \, \text{т} \cdot \text{м/с}\]

\[500 \, \text{т} \cdot \text{м}^2/\text{с}^2 = M \cdot V^2\]

Решая их вместе, найдем скорость после столкновения \(V\). Поделим первое уравнение на второе:

\[\frac{M \cdot V}{500 \, \text{т} \cdot \text{м}^2/\text{с}^2} = \frac{100 \, \text{т} \cdot \text{м/с}}{500 \, \text{т} \cdot \text{м}^2/\text{с}^2}\]

\[V = \frac{100 \, \text{т} \cdot \text{м/с}}{500 \, \text{т} \cdot \text{м}^2/\text{с}^2} = 0,2 \, \text{м/с}\]

Таким