Question

В алюминиевой кастрюле массой 0,3 кг находится вода объёмом 0,4 л и лёд массой 300 г при температуре 0 °С. Кастрюлю нагревают на электроплитке мощностью 900 Вт в течение 30 мин. КПД плитки составляет 50 %. С точностью до грамма определи массу выкипевшей воды. (Удельная теплоёмкость воды 4200 Дж/(кг·°С), удельная теплоёмкость алюминия 900 Дж/(кг·°С), температура кипения воды 100 °С, удельная теплота плавления льда 333 кДж/кг, удельная теплота парообразования воды 2,25 МДж/кг).

Answer 1

Дано:

Масса алюминиевой кастрюли: $m_3 = 0,3$ кг.

Объём воды: $V_2 = 0,4$ л $= 0,4\cdot10^{-3}$ м³.

Плотность воды: $\rho_2 = 1000$ кг/м³.

Масса льда: $m_1 = 300$ г $= 0,3$ кг.

Мощность плиты: $P = 900$ Вт.

Время работы плиты: $t = 30$ мин $= 1800$ с.

КПД плиты: $\eta = 50\% = 0,5$.

Начальная температура системы: $t_1 = 0^{\circ}C$.

Температура кипения воды: $t_2 = 100^{\circ}C$.

Найти нужно массу испарившейся воды: $m_4\; -\; ?$

Решение:

0. Энергия, полученная от нагревания плиты тратится на плавление льда, нагревание кастрюли и всей воды до температуры кипения соответственно воды и далее парообразование какой-то массы воды. То есть: $A = Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4.$

1. Масса воды находится по тривиальной формуле: $m_2 = \rho_2V_2.$

2. Из определения КПД найдём полезную работу плиты: $\eta = \dfrac{A}{A_{full}} = \dfrac{A}{Pt}\;\Longrightarrow\;\boxed{\;A = \eta Pt\;}$

3. Теплота плавления льда: $Q_1 = \lambda m_1,$ где $\lambda = 3,33\cdot10^{5}$ Дж/кг - удельная теплота плавления льда.

Расплавившись, лёд станет водой. Далее греть будем всю воду, включая "бывший лёд".

4. Теплота нагревания кастрюли: $Q_2 = c_1m_3(t_2 - t_1),$ где $c_1 = 900$ Дж/(кг·°C) - удельная теплоёмкость алюминия.

5. Теплота нагревания всей воды: $Q_3 = c_2(m_1 + m_2)(t_2 - t_1),$ где $c_2= 4200$ Дж/(кг·°C) - удельная теплоёмкость воды.

6. Теплота парообразования неизвестной массы воды: $Q_4 = Lm_4,$ где $L = 2,25\cdot10^{6}$ Дж/кг - удельная теплота парообразования воды.

7. Объединяем все предыдущие труды.

$\eta Pt = \lambda m_1 + c_1m_3(t_2 - t_1) + c_2(m_1 + \rho_2V_2)(t_2 - t_1) + Lm_4 =\\{}_{\;\;\;\;\;\;\;}= \lambda m_1 + \big(c_1m_3 + c_2(m_1 + \rho_2V_2)\big)(t_2 - t_1) + Lm_4.$

8. Выразим искомую массу из (7):

$Lm_4 = \eta Pt - \lambda m_1 - \big(c_1m_3 + c_2(m_1 + \rho_2V_2)\big)(t_2 - t_1);\\m_4 = \dfrac{\eta Pt - \lambda m_1 - \big(c_1m_3 + c_2(m_1 + \rho_2V_2)\big)(t_2 - t_1)}{L}.$

Численно получим:

$m_4 = \dfrac{0,5\cdot900\cdot1800 - 3,33\cdot10^{5}\cdot0,3 - \big(900\cdot0,3 + 4200(0,3 + 1000\cdot0,4\cdot10^{-3})\big)(100 - 0)}{2,25\cdot10^{6}} \approx\\{}_{\;\;\;\;\;\;}\approx 0,173\;({K\Gamma}).$

Переведём в граммы: 0,173 кг = 173 г.

Ответ: 173 г.