Question

Школьницы Алиса и Василиса участвуют в соревнованиях по бегу. В первом состязании Алиса и Василиса стартовали одновременно в одном направлении. Василиса отстала от Алисы сразу после старта. Пробегая 3-й круг, Василиса заметила, что Алиса впервые после старта обогнала её. Во втором состязании Алиса и Василиса бежали эстафету: 2 круга бежала Алиса и 2 круга — Василиса. Девочки очень обрадовались, что обогнали своего одноклассника Петра, бежавшего всю дистанцию эстафеты без напарника с постоянной скоростью 12 км/ч: во время финиша Василисы Пётр всё ещё бежал последний круг. При решении задачи скорость каждой из школьниц можно считать постоянной. A) Найдите минимально возможную скорость Алисы при данных условиях. B) Найдите максимально возможную скорость Алисы при данных условиях. C) Найдите минимально возможную скорость Василисы при данных условиях. D) Найдите максимально возможную скорость Василисы при данных условиях. Ответ представьте в км/ч и округлите до второй значащей цифры.

Answer 1

Пусть Va - скорость Алисы, Vв - скорость Василисы, длина круга L.

Первое состязание:

Пусть А обогнала В через to после старта, и В пробежала S1:

Vв to = S1

Vа to = S1 + L

(2L < S1 < 3L)

разделим второе равенство на первое:

Vа/Vв = 1 + L/S1

Vа = (1 + L/S1) Vв

Второго состязания:

t1 - время, за которое А пробегает 2 круга, t2 = время, за которое В пробегает 2 круга:

2L = Vа t1 = Vв t2

Петр за t1+t2 пробежал S2 ( 3L < S2 < 4L):

Vп ( t1 + t2) = S2

Подставляем в последнее равенство t1 = 2L/Vа, t2 = 2L/Vв:

Vп ( 2L/Vа + 2L/Vв) = S2

1/Vа + 1/Vв = S2/(2 L Vп)

Подставляем Vа = (1 + L/S1) Vв

(1 /Vв) (1 + 1/[1 + L/S1] ) = S2/(2 L Vп)

Выражаем Vв:

Vв = Vп (2 L/S2) ( 2 + L/S1) / (1 + L/S1)

Va = (1 + L/S1) Vв = Vп (2 L/S2) ( 2 + L/S1)

Пусть L/S1 = x, 2 L / S2 = y

Получаем все, что нужно для решения:

(1/3 < x < 1/2), (1/2 < y < 2/3)

Vв = Vп y(2 + x)/(1 + x)

Vа = Vп y(2 + x)

А) Vа = min(Va) при y = 1/2, x = 1/3 : min(Va) = (7/6) Vп

B) Va = max(Va) при y=2/3, x = 1/2: max(Va) = (5/3) Vп

C) Vв = min(Vв) при y = 1/2, x = 1/2: min(Vв) = (5/6) Vп

D) Vв = min(Vв) при y = 2/3, x = 1/3: max(Vв) = (7/4) Vп