Question

Определите длины математических маятников, если за одно и то же время один из них делал 90 колебаний, а другой — 60. Известно, что длина нити одного маятника короче длины нити другого на 40 см.

Answer 1

Период колебаний первого маятника:
T₁ = t/n₁
 Но:
T₁= 2π*√(L₁/g)
Тогда
t / n₁ = 2π*√(L₁/g)    (1)

Аналогично:
Период колебаний второго маятника:
T₂ = t/n₂
 Но:
T₂= 2π*√(L₂/g)
Тогда
t / n₂ = 2π*√(L₂/g)    (2)

Разделим (2) на (1)

n₁/n₂ = √ (L₂/L₁)
90/60 = √ (L₁+ΔL/L₁)
1,5 = √ (1+ΔL/L₁)
Возводим в квадрат:
2,25 = 1 + 40/L₁
1,25 = 40/L₁
L₁ = 40/1,25 = 32 см
L₂ = 72 см

Answer 2

Давайте обозначим длину нити более длинного маятника через \( L \), а длину нити более короткого маятника через \( L - 40 \) (так как длина нити одного маятника короче длины нити другого на 40 см).

Период \( T \) математического маятника (время, за которое маятник совершает одно полное колебание) зависит от длины нити \( L \) и ускорения свободного падения \( g \) по формуле:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \]

где \( g \approx 9.8 \ \text{м/с}^2 \) - ускорение свободного падения.

Мы знаем, что для первого маятника сделано 90 колебаний за одинаковый промежуток времени, что можно выразить через период \( T_1 \):

\[ 90 \cdot T_1 = T \]

Аналогично, для второго маятника:

\[ 60 \cdot T_2 = T \]

Так как \( T \) одинаков для обоих маятников (по условию задачи), мы можем выразить \( T \) через формулу периода:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \]

Теперь мы можем записать уравнения для первого и второго маятников:

\[ 90 \cdot T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \]

\[ 60 \cdot T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{L - 40}{g}} \]

Теперь мы можем выразить \( T_1 \) и \( T_2 \) через \( L \) и \( g \):

\[ T_1 = \frac{2\pi}{90} \sqrt{\frac{L}{g}} \]

\[ T_2 = \frac{2\pi}{60} \sqrt{\frac{L - 40}{g}} \]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\( L \) и \( g \)), но мы знаем, что \( g \approx 9.8 \ \text{м/с}^2 \). Таким образом, мы можем использовать эти уравнения, чтобы решить систему уравнений и найти значения \( L \) и \( g \).