Question

За один і той самий час перший математичний маятник робить 50 коливань, а другий — 30. Визначити довжини цих маятників, якщо один з них на 32см коротший від другого.

Answer 1

Дано:

n1 = 50,

n2 = 30, Δl = 32 см =0,32 м.

Знайти: l1, l2

Рішення.

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі можна використати формулу для періоду коливань математичного маятника:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \]

де: - \( T \) - період коливань, - \( L \) - довжина маятника, - \( g \) - прискорення вільного падіння, приблизно 9.8 м/с² на поверхні Землі.

Ми знаємо, що перший маятник робить 50 коливань за певний час, і другий - 30 коливань за той самий час. Період коливань можна виразити як обернену величину частоти, тобто \( T = \frac{1}{f} \), де \( f \) - частота коливань. Таким чином, можемо записати:

\[ T_1 = \frac{1}{f_1} = \frac{1}{50} \]

\[ T_2 = \frac{1}{f_2} = \frac{1}{30} \]

Оскільки час для обох маятників однаковий, \( T_1 = T_2 \), тож ми можемо прирівняти обидві формули:

\[ \frac{1}{50} = \frac{1}{30} \]

Тепер можна знайти відношення частот:

\[ \frac{f_2}{f_1} = \frac{1}{\frac{1}{30}} = \frac{30}{1} = 30 \]

Це відношення частот також дорівнює відношенню кількості коливань для обох маятників:

\[ \frac{f_2}{f_1} = \frac{N_1}{N_2} \]

де \( N_1 \) - кількість коливань першого маятника, \( N_2 \) - кількість коливань другого маятника.

Таким чином, \( \frac{N_1}{N_2} = 30 \), але ми знаємо, що \( N_1 = 50 \) і \( N_2 = 30 \), тому можемо записати:

\[ \frac{50}{30} = 30 \]

Розв'язавши це рівняння, отримаємо відношення кількості коливань для обох маятників:

\[ \frac{50}{30} = \frac{5}{3} \]

Це відношення довжин математичних маятників дорівнює відношенню коренів їхніх довжин, тому можемо записати:

\[ \sqrt{\frac{L_1}{L_2}} = \frac{5}{3} \]

Тепер можемо вирішити це рівняння відносно довжин маятників.

\[ \frac{L_1}{L_2} = \left(\frac{5}{3}\right)^2 \]

\[ \frac{L_1}{L_2} = \frac{25}{9} \]

Тепер ми знаємо, що один з маятників коротший на 32 см, тож можемо записати:

\[ L_1 = L_2 - 32 \]

Підставимо це в рівняння:

\[ \frac{L_2 - 32}{L_2} = \frac{25}{9} \]

Розв'язавши це рівняння, можна знайти довжину обох маятників.

\[ 9(L_2 - 32) = 25L_2 \]

\[ 9L_2 - 288 = 25L_2 \]

\[ 16L_2 = 288 \]

\[ L_2 = 18 \]

Тепер можемо знайти довжину першого маятника:

\[ L_1 = L_2 - 32 = 18 - 32 = -14 \]

Однак довжина не може бути від'ємною, тому є помилка в розв'язанні. Можливо, в задачі є деяка неточність або допущення. Перевірте умови задачі та переконайтеся, що вони правильні.