Question

Основной закон динамики вращательного движения твёрдого тела

Answer 1

    Рассмотрим твердое тело, как некую систему (рис. 6.1), состоящую из n точек (m1, m2, ..., mn);  – радиус-вектор i-й точки, проведенный из точки О – центра неподвижной инерциальной системы отсчета. 
       Введем обозначения:  – внешняя сила, действующая на i-ю точку,  – сила действия со стороны k-й точки на i-ю. 
Рис. 6.1       Запишем основное уравнение динамики для точки (см. п. 3.6):Умножим обе части этого уравнения векторно на :Знак производной можно вынести за знак векторного произведения (и знак суммы тоже), тогда       Векторное произведение вектора  точки на её импульс называется моментом импульса (количества движения)  этой точки относительно точки О. . (6.1.1) Эти три вектора образуют правую тройку векторов, связанных «правилом буравчика» (рис. 6.2). 
Рис. 6.2       Векторное произведение , проведенного в точку приложения силы, на эту силу, называется моментом силы : . (6.1.2)        Обозначим  Li  – плечо силы  Fi, (рис. 6.3). 
Учитывая тригонометрическое тождество, получаем . (6.1.3)  
Рис. 6.3C учетом новых обозначений: . (6.1.4) Запишем систему n уравнений для всех точек системы и сложим их левые и правые части:Здесь сумма производных равна производной суммы:где  – момент импульса системы,  – результирующий момент всех внешних сил относительно точки О. 
       Так как,    то    Отсюда получим основной закон динамики вращательного движения твердого тела, вращающегося вокруг точки. . (6.1.5) Момент импульса системы является основной динамической характеристикой вращающегося тела. 
Сравнивая это уравнение с основным уравнением динамики поступательного движения (3.6.1), мы видим их внешнее сходство.