Question

Груз массой 6.0 кг связан с пружиной, жесткость которой 1200 H/м. Груз отклонили на 15 см от положения равновесия и отпустили. с какой скоростью он будет проходить положение равновесия?

Answer 1

V=√(1200 ·0.15² ÷6,0-2·9.8·0.15)=1.25 м.с.

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать законы гармонических колебаний. Ваша задача связана с колебаниями пружины. В общем случае для маятника, поддерживаемого пружиной, уравнение движения имеет вид:

\[m \cdot a = -k \cdot x\]

где: - \(m\) - масса груза, - \(a\) - ускорение, - \(k\) - жесткость пружины, - \(x\) - отклонение от положения равновесия.

Мы также знаем, что ускорение \(a\) равно произведению второй производной отклонения по времени \(x\), то есть \(a = \frac{d^2x}{dt^2}\). Таким образом, уравнение принимает форму:

\[m \cdot \frac{d^2x}{dt^2} = -k \cdot x\]

Это уравнение можно решить с учетом начальных условий, чтобы найти функцию \(x(t)\), описывающую движение груза.

Ваше начальное условие - груз отклонен на 15 см от положения равновесия. Это можно выразить как \(x(0) = 0.15 \ м\), а начальная скорость \(v(0) = 0 \ м/с\), так как груз просто отпустили.

Решение этого дифференциального уравнения может быть сложным, но для случая гармонических колебаний оно обычно имеет вид:

\[x(t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi)\]

где: - \(A\) - амплитуда колебаний, - \(\omega\) - угловая частота колебаний, - \(\phi\) - начальная фаза.

Угловая частота \(\omega\) связана с жесткостью пружины и массой груза следующим образом:

\[\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\]

Теперь мы можем использовать эти результаты, чтобы определить скорость груза. Скорость \(v(t)\) равна производной отклонения \(x(t)\) по времени:

\[v(t) = -A \cdot \omega \cdot \sin(\omega t + \phi)\]

Находим начальную фазу \(\phi\) из начальных условий. Так как \(x(0) = A \cdot \cos(\phi) = 0.15 \ м\), то \(\cos(\phi) = 0.15/A\). Из начальной скорости \(v(0) = -A \cdot \omega \cdot \sin(\phi) = 0 \ м/с\) следует, что \(\sin(\phi) = 0\).

Таким образом, \(\phi = \pi/2\), и у нас есть все данные для расчета скорости груза в положении равновесия.

\[v(t) = -A \cdot \omega \cdot \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})\]

Теперь, чтобы найти скорость груза в момент времени \(t\), подставим значения:

\[v(t) = -A \cdot \omega \cdot \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})\]

Так как \(A\) и \(\omega\) связаны с начальными условиями, вы можете выразить их через известные величины (массу, жесткость пружины) и подставить значения для расчета.