Question

В цилиндре сечением 90 см2 может свободно двигаться без трения поршень массой 10 кг, плотно прилегающий к стенкам цилиндра. Цилиндр с поршнем двигаются вниз с ускорением 5м/с2, чему равно отношение давления воздуха в цилиндре к первоначальному(в состоянии покоя) давлению?

Answer 1

Запишем 2 Закон Ньютона для поршня в двух случаях

а) Все покоится

0 = mg - pS
p = mg/S

где pS - сила давления газа на поршень

б) Все едет вниз с ускорением a

ma = mg - p₁S
p₁ = m(g-a)/S

k = p₁/p = m(g-a)/S : (mg/S) = 1-a/g = 1-5/10 = 0.5

Ответ - давление снизится вдвое

P.S. Здесь речь идет, разумеется, об избыточном давлении под поршнем. Если задача решается не в безвоздушном пространстве, а в атмосфере, а считать надо отношение ПОЛНЫХ а не избыточных давлений, ответ будет такой

$k = \frac{p_0+m(g-a)/S}{p_0+mg/S} = \frac{p_0S+m(g-a)}{p_0S+mg} = \\\\ =1-\frac{ma}{p_0S+mg}$

Где p_0 - атмосферное давление

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа и вторым законом Ньютона. Первоначальное давление газа в цилиндре можно выразить через уравнение состояния идеального газа:

\[ P_1V_1 = nRT_1 \]

где \( P_1 \) - первоначальное давление газа, \( V_1 \) - объем цилиндра, \( n \) - количество молекул газа (постоянная Авогадро), \( R \) - универсальная газовая постоянная, \( T_1 \) - начальная температура.

Затем, используя второй закон Ньютона \( F = ma \), где \( F \) - сила, \( m \) - масса поршня, \( a \) - ускорение, мы можем выразить силу как разность давлений на верхней и нижней сторонах поршня:

\[ F = P_2A - P_1A = ma \]

где \( P_2 \) - давление после смещения поршня, \( A \) - площадь поршня.

Мы также можем выразить площадь поршня через его сечение:

\[ A = \frac{S}{\cos(\theta)} \]

где \( S \) - площадь сечения цилиндра, \(\theta\) - угол наклона поршня к вертикальной оси.

Теперь мы можем объединить уравнения, чтобы выразить \( P_2 \) (давление после смещения поршня) через начальное давление \( P_1 \) и ускорение \( a \):

\[ P_2 = P_1 + \frac{m}{S}a \cos(\theta) \]

Так как площадь сечения цилиндра \( S \) равна 90 см² (или \(9 \times 10^{-3} \, \text{м}^2\)), масса поршня \( m \) равна 10 кг, ускорение \( a \) равно 5 м/с², а угол наклона поршня \( \theta \) равен 0 (поршень двигается вертикально), мы можем подставить значения и решить уравнение.

\[ P_2 = P_1 + \frac{m}{S}a \cos(\theta) \]

\[ P_2 = P_1 + \frac{10 \, \text{кг}}{9 \times 10^{-3} \, \text{м}^2} \times 5 \, \text{м/с}^2 \times \cos(0) \]

\[ P_2 = P_1 + \frac{500}{9} \, \text{Па} \]

Теперь отношение \( \frac{P_2}{P_1} \) (давление после смещения поршня к первоначальному давлению) равно:

\[ \frac{P_2}{P_1} = 1 + \frac{500}{9P_1} \]

Таким образом, отношение давлений после смещения поршня к первоначальному давлению составляет \(1 + \frac{500}{9P_1}\).