Question

Один моль аргона, находящийся в цилиндре при температуре Т1=600 К и давлении р1=4*10^5 Па, расширяется и одновременно охлаждается так, что его температура при расширении обратно пропорциональна объему. Конечное давление газа р2=10^5 Па. Какую работу совершил газ при расширении, если он отдал холодильнику количество теплоты Q=1247Дж?

Answer 1

Газ совершил работу A и еще и отдал холодильнику количество теплоты Q за счет изменения (уменьшения) своей внутренней энергии U1-U2, т.е.

Q + A  = U1-U2    

Т.к. внутренняя энергия 1 моля одноатомного газа (аргона) определяется формулой

U=3/2*RT

то

Q+A=3/2*R*(T1-T2)

и

A=3/2*R*(T1-T2) - Q

Мы сможем вычислить работу А, если вычислим неизвестную конечную температуру газа Т2.

 

Из условия, что температура газа при расширении обратно пропорциональна объему

T1=const / V1

T2=const / V2

используя уравнение состояния идеального газа (для 1 моля)

p1V1=RT1

p2v2=RT2

получим

p1V1=R*const / V1

p2v2=R*const / V2

или

p1(V1)^2=R*const

p2(v2)^2=R*const

далее

p1(V1)^2=p2(v2)^2

или

p1/p2=(V2/V1)^2

$\frac{p1}{p2}=(\frac{V2}{V1})^2$

отсюда

V2=n*V1, где $n=\sqrt{\frac{p1}{p2}}$

Из уравнения состояния (1 моля) идеального газа для конечной температуры Т2

T2=p2*V2/R=p2*n*V1/R

а для начального объема V1

V1=R*T1/p1

и для T2 получим

$T2=T1\sqrt{\frac{p2}{p1}}$

 

Подставляя в формулу для вычисления работы А, получим окончательно

 

$A=\frac{3}{2}RT_1(1-\sqrt{\frac{p_2}{p_1}}) - Q$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать уравнение состояния идеального газа, а также уравнение состояния для процесса адиабатического расширения.

Уравнение состояния идеального газа:

\[ PV = nRT \]

Уравнение адиабатического процесса:

\[ PV^\gamma = \text{const} \]

где \( \gamma \) - показатель адиабаты, равный \( \frac{C_p}{C_v} \), а \( C_p \) и \( C_v \) - молярные теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме соответственно.

Сначала найдем начальный объем газа. Из уравнения состояния идеального газа:

\[ V_1 = \frac{nRT_1}{P_1} \]

Теперь можем использовать уравнение адиабатического процесса для нахождения конечного объема \( V_2 \):

\[ P_1V_1^\gamma = P_2V_2^\gamma \]

\[ V_2 = \left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{1/\gamma} V_1 \]

Теперь мы можем найти работу, совершенную газом при расширении. Для адиабатического процесса:

\[ W = \frac{C_v}{\gamma - 1} (T_2 - T_1) \]

где \( T_2 \) - конечная температура газа после расширения. Учитывая, что температура при расширении обратно пропорциональна объему:

\[ T_2 = T_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} \]

Подставим это значение в формулу для работы:

\[ W = \frac{C_v}{\gamma - 1} \left(T_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} - T_1\right) \]

Теперь подставим значения и решим:

\[ V_1 = \frac{nRT_1}{P_1} \]

\[ V_2 = \left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{1/\gamma} V_1 \]

\[ T_2 = T_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} \]

\[ W = \frac{C_v}{\gamma - 1} \left(T_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} - T_1\right) \]

\[ W = \frac{C_v}{\gamma - 1} \left(T_1 \left(\frac{\frac{nRT_1}{P_1}}{\left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{1/\gamma} \frac{nRT_1}{P_1}}\right)^{\gamma-1} - T_1\right) \]

Подставим числовые значения и решим уравнение для работы. Учтем, что \( C_v \) для молекул аргона составляет примерно \( \frac{5}{2}R \), а \( \gamma \) примерно равно \( \frac{7}{5} \) для молекул аргона.

\[ W = \frac{\frac{5}{2}R}{\frac{7}{5} - 1} \left(600 \left(\left(\frac{\frac{nR \cdot 600}{4 \cdot 10^5}}{\left(\frac{4 \cdot 10^5}{10^5}\right)^{1/\frac{7}{5}} \frac{nR \cdot 600}{4 \cdot 10^5}}\right)^{\frac{7}{5}-1} - 600\right)\right) \]

Решив это уравнение, вы получите значение работы \( W \). Ответ можно представить в джоулях (Дж).