Question

Два цилиндра: один сплошной, другой - в виде кольца, имеют одинаковые размеры, массы и скорости V1=V2, вкатываются в гору. Определите соотношение высот h1/h2 на которые поднимутся эти цилиндры. Считать, что масса полого цилиндра сосредоточена по периметру.

Answer 1

Высота подъёма с начальной скоростью V:
 h=V^2/(2g)*[1+J/(mR^2)]
Слагаемое J/(mR^2) у сплошного и у кольца равны соответственно 1/2 и 1.
Отсюда получаем отношение достигаемых высот
h1/h2=(1+1/2)/(1+1)=3/4

Answer 2

Решение:

Для решения данной задачи воспользуемся законом сохранения энергии. Поскольку цилиндры имеют одинаковые размеры, массы и скорости, то кинетическая энергия будет одинакова для обоих цилиндров. Пусть масса каждого цилиндра равна *m*, его радиус равен *R*, а скорость *V*. Также пусть цилиндр в виде кольца имеет внешний радиус *R* и внутренний радиус *r*.

Изначальная кинетическая энергия цилиндров: \[E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} mV^2\]

Определение потенциальной энергии

Для сплошного цилиндра: \[E_{\text{пот, спл}} = mgh_1\]

Для цилиндра в виде кольца: \[E_{\text{пот, кольцо}} = mgh_2\]

Применение закона сохранения энергии

Из закона сохранения энергии следует: \[E_{\text{кин}} = E_{\text{пот, спл}} + E_{\text{пот, кольцо}}\]

\[ \frac{1}{2} mV^2 = mgh_1 + mgh_2\]

Определение соотношения высот

Так как масса *m* сокращается, получаем: \[\frac{1}{2} V^2 = gh_1 + gh_2\] \[h_1 + h_2 = \frac{V^2}{2g}\]

Определение отношения высот

Теперь определим отношение высот: \[\frac{h_1}{h_2} = \frac{V^2}{2g} - h_2\]

Таким образом, отношение высот *h1/h2* зависит от скорости *V* и ускорения свободного падения *g*.